КЛАССИФИКАЦИЯ ПРИВЕДЕННЫХ ФОРМ КУБИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ПО ВЕЛИЧИНЕ СТЕПЕНИ КРИТЕРИЯ СИММЕТРИИ КОРНЕЙ Стаценко И.В.

Московский энергетический институт


Номер: 4-3
Год: 2017
Страницы: 15-18
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

кубические многочлены, кубические уравнения, тригонометрические формулы Виета, cubic polynomials, cubic equations, trigonometric formulas of vieta

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

В статье представлен метод анализа приведенных форм кубических многочленов одной переменной на основе критерия симметрии корней многочлена относительно одного центрального корня

Текст научной статьи

Рациональные алгоритмы поиска и формы представления решений кубического уравнения и в настоящее время являются актуальным предметом исследований, о чем говорят, в частности, некоторые публикации и защищенные авторские свидетельства [1]. Как правило, данные исследования направлены на поиск рациональных по некоторым критериям приведенных форм кубического многочлена (уравнения). Цель представленной работы - обоснование возможного критерия классификации приведенных форм кубического уравнения. Рассмотрим кубический многочлен вида: , (1) где - действительные числа. Соответствующее кубическое уравнение имеет вид: . (2) Пусть , , (3) где - корни многочлена (1), являющиеся в общем случае комплексными числами; , - расстояния между корнями - комплексные числа. Если полагаем, что корни действительные - расположены симметрично относительно действительного корня вдоль действительной оси. Если полагаем, что комплексные корни расположены симметрично относительно действительного корня в направлении мнимой оси. Пусть . Используя соотношения Виета для коэффициентов кубического уравнения можно получить приведенную форму вида: , (4) где , (5) . (6) Величина может рассматриваться в качестве критерия симметрии корней многочлена относительно одного центрального действительного корня, так как в случае имеем, что . Приведенная форма кубического уравнения в виде (4) может использоваться в качестве базовой для получения других приведенных форм уравнения (2), при этом в качестве классификатора форм можно использовать величину степени критерия . Возведение левой и правой части уравнения (4) в квадрат и замена переменной позволяют получить приведенную форму второго порядка в виде: . (7) Далее возведение левой и правой части уравнения (7) в квадрат и замена переменной позволяют получить приведенную форму четвертого порядка в виде: . (8) Очевидно, что указанный процесс получения приведенных форм не имеет ограничений сверху по показателю степени величины при условии, что , . Покажем возможности использования приведенных форм первого и второго порядка в практических целях. Учитывая, что , в уравнении (7) проведем замену переменной вида . В результате имеем следующую приведенную форму второго порядка: , . (9) В правой части данного уравнения величина выступает в качестве критерия кратности корней кубического уравнения. В случае и , кубическое уравнение имеет один действительный корень кратности 2 и один действительный корень кратности 1. В случае и , кубическое уравнение имеет один кубический корень кратности 3. Далее, извлекая квадратный корень в левой и правой части уравнения (9), и, проведя замену переменной , получим следующую приведенную форму первого порядка: . (10) Сложение приведенных форм (4) с (10) позволяет выделить полный куб в левой части кубического уравнения (2) в виде: . (11) Учитывая, что см. (5), приведенную форму (11) можно представить следующим образом: . (12) Величина является корнем квадратного уравнения . (13) Откуда имеем . Таким образом, решение кубического уравнения в форме (4) приобретает вид: . (14) Форма (14) удобна для поиска комплексных корней кубического уравнения. В случае, когда на базе (14) с помощью замены переменной можно получить следующую приведенную форму первого порядка (приведенная форма Виета): , . (15) Геометрический смысл величины - расстояние между двумя экстремумами многочлена . Если имеется один действительный корень кратности 3. Далее, полагая , и учитывая, что , получим , (16) Приоритетность применения формул (14,16) и последовательность вычисления корней кубического уравнения (2) представлена в таблице 1. Таким образом, в статье проведена классификация приведенных форм кубического многочлена (уравнения) по величине степени критерия симметрии корней многочлена. Данная классификация позволяет формализовать возможные случаи вычисления конкретных корней (действительных и комплексных) по геометрическому смыслу переменных в левой части и констант в правой части приведенной формы кубического уравнения. Таблица 1 Приведенная форма , , . Приведенная форма , . Ситуация 1 . . . . . . . Ситуация 2 . . . . . . Частные случаи Случай 1. . - корень кратности 3. Случай 2. . , , .

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.