МАТРИЧНАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ С МАЛЫМ ШАГОМ Иманалиев З.К.,Аширбаев Б.Ы.

Кыргызский государственный технический университет им. И. Раззакова


Номер: 5-1
Год: 2017
Страницы: 7-9
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

малый шаг, матрица простой структуры, след матрицы, сопряженные уравнения, small step, matrix of simple structure, track of matrix, attended equalizations

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

В статье выведена формула для решения матричного линейного разностного уравнения с малым шагом. Доказана необходимое и достаточное условие сопряженности таких уравнений. Данная работа является продолжением исследований авторов по теории дискретных задач оптимального управления с малым шагом [1,5512-5519; 2, 8-10; 3, 138-141].

Текст научной статьи

Рассмотрим линейное матричное разностное уравнение с малым шагом вида (1) где матрицы, малый шаг, штрих обозначает транспонирование. Предположим, что 1. Матрица является матрицей простой структуры [4, 248] и она не имеет нулевого собственного значения 2. Все собственные значения матрицы удовлетворяют условию При выполнении условии 1 и 2 справедлива следующая ТЕОРЕМА 1. Матричное решение уравнения (1) дается формулой (2) и оно имеет оценку (3) При этом, для p кратных малых шагов справедливы соотношения (4) (5) При выполнении условии 1 простую структуру будут иметь также матрицы и их собственные значения совпадают [4, 253] и матрица является невырожденной. При выполнении условии 2 для матрицы имеет место ограничение по норме [4, 255] (6) Доказательство. Докажем первую часть теоремы 1. При из уравнения (2) будем иметь При имеем: При Аналогично для любого справедливы соотношения: Таким образом, в результате получим формулу (4), т.е. (7) Теперь переходим к следующему этапу. С учетом (7) из равенства (2) имеем: Тогда для матрицы получим (8) Продолжая этот процесс для p кратных малых шагов имеем: Отсюда видно, что при имеет место предельное соотношение (5) ч. т. д. При проектировании оптимальных систем управления очень часто необходимые условия оптимальности приводят к уравнениям сопряженной системы. Как известно [5, 125], что множества квадратных матриц порядка образует векторное пространство Введем в этом пространстве скалярное произведение определяется по формуле (9) Пользуясь свойствами следа матрицы легко проверить, что все требования скалярного произведения выполняются и полученное пространство является мерным евклидовым пространством Рассмотрим в этом пространстве линейные матричные разностные уравнения вида (1) и (10) Уравнения (1) и (10) играют важную роль в теории управления импульсными системами с малым шагом квантования. Условия сопряженности матричных уравнений (1), (10) и вывод этого условия приведен в следующей теореме. ТЕОРЕМА 2. Для того, чтобы уравнения (1) и (10) были сопряженными необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условие (11) при любых дискретных значений аргумента . Доказательство необходимости выполнения условия (11). Пусть выполняется условие (11) и является решением уравнения (12) Тогда пользуясь свойствами следа матрицы и с учетом соотношений (12) из равенства (11) будем иметь (13) Из равенства (13) видно, что условие выполняется в том случае, если Отсюда имеем уравнение (10). Доказательство достаточность выполнения условия (11). Пусть уравнения (1) и (10) являются сопряженными. Тогда ч. т. д. Заключение. Уравнение вида (1) и (10) играют важную роль в теории управления импульсными системами с малым шагом квантования. Результаты работ будут использованы при исследовании алгебраических матричных уравнений Ляпунова и при построении решений дискретных задач оптимального управления с малым шагом.

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.