ДИСКРЕТНАЯ ИГРА ПРЕСЛЕДОВАНИЯ С УРОВНЕМ ЯРКОСТИ ЦИФРОВОГО ИЗОБРАЖЕНИЯ Маматов М.Ш.,Эсонов Э.Э.

Национальный университет Узбекистана им. М. Улугбека


Номер: 5-3
Год: 2017
Страницы: 7-13
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

преследования, преследующий, убегающий, терминальное множество, яркость, изображения, pursuit, chasing, escaping, the terminal set, brightness, image

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

Работа посвящена изучению одного класса дискретных игр преследования с уровней яркости цифрового изображения, которое описывается системами уравнений второго порядка. Получены достаточные условия для возможности завершения преследования в дискретных играх с граничными условиями. При решении задачи преследования применяются полиномы Чебышева второго рода.

Текст научной статьи

Производные дискретной функции определяются в терминах разностей. Эти разности можно задать различными способами, однако мы будем руководствоваться следующим. Первая производная должна быть: 1) равной нулю на плоских участках (областях с постоянным уровнем яркости); 2) ненулевой в начале и в конце ступеньки или склона яркости; 3) ненулевой на склонах яркости. Аналогично, вторая производная должна быть: 1) равной нулю на плоских участках; 2) ненулевой в начале и в конце ступеньки или склона яркости; 3) равной нулю на склонах постоянной крутизны. Так как мы оперируем ограниченными численными значениями, максимальное значение изменения яркости также конечно, а кратчайшее расстояние, на котором это изменение может происходить, есть расстояние между соседними пикселями. Первая производная одномерной функции определяется как разность значений соседних элементов: Здесь использована запись в виде частной производной для того, чтобы сохранить те же обозначения в случае двух переменных , где придется иметь дело с частными производными по двум пространственным осям. Использование частной производной не меняет существа рассмотрения. Аналогично, вторая производная определяется как разность соседних значений первой производной: Легко проверить, что оба данных определения удовлетворяют сформулированным ранее условиям касательно производных первого и второго порядков. В заключение, сравнивая отклики первой и второй производных, можно отметить следующее. 1) Первая производная обычно дает в результате более толстые контуры. 2) Вторая производная дает больший по величине отклик на мелкие детали - как на отдельных точках, так и на тонких линиях. 3) Отклик на ступеньку у первой производной, как правило, выше, чем у второй. 4) На наклонных контурах вторая производная даст двойной отклик. Касательно второй производной можно также отметить, что при одинаковых амплитудах изменения сигнала, она дает более сильный отклик на линии, чем на ступеньке, а на отдельной точке - более сильный, чем на линии. В большинстве приложений методов улучшения изображений вторая производная оказывается более предпочтительной, чем первая, благодаря большему усилению мелких деталей. По этой причине, и чтобы упростить дальнейшее развитие подхода, вначале мы уделим внимание применению второй производной в методах улучшения изображений. Теперь рассмотрим применение двумерной второй производной в задачах улучшения изображений. Подход сводится к выбору дискретной формулировки второй производной и к последующему построению маски фильтра, основанной на данной формулировке. Рассматриваться будут изотропные фильтры, отклик которых не зависит от направления неоднородностей на обрабатываемом изображении. Другими словами, изотропные фильтры являются инвариантными к повороту, в том смысле, что поворот изображения и последующее применение фильтра дает тот же результат, что и первоначальное применение фильтра с последующим поворотом результата. Простейшим изотропным оператором, основанным на производных, является лапласиан (оператор Лапласа), который в случае функции двух переменных , определяется как Поскольку производные любого порядка являются линейными операторами, то значит и лапласиан является линейным оператором. Чтобы применить данное уравнение в цифровой обработке изображений, его необходимо выразить в дискретном виде. Существует несколько способов задать лапласиан в дискретном виде на основе значений соседних пикселей. Нижеследующее определение дискретной второй производной является одним из наиболее часто используемых. Принимая во внимание, что теперь имеются две переменные, для частной второй производной по будет использоваться следующая формула: и, аналогично для частной второй производной по : Дискретная формулировка двумерного лапласиана, заданного уравнением (5), получается объединением этих двух составляющих: Поскольку оператор Лапласа, по сути является второй производной, его применение подчеркивает разрывы уровней яркостей на изображении и подавляет области со слабыми изменениями яркостей. Это приводит к получению изображения, содержащего сероватые линии на месте контуров и друг их разрывов, наложенные на темный фон без особенностей. Но фон можно «восстановить», сохранив при этом эффект повышения резкости, достигаемый лапласианом. Для этого достаточно сложить исходное изображение и лапласиан. Как было сказано в предыдущем абзаце, при этом необходимо помнить, какое из определений лапласиана было использовано. Если использовалось определение, использующее отрицательные центральные коэффициенты, тогда получения эффекта повышения резкости, изображение-лапласиан следует вычитать, а не прибавлять. Таким образом, обобщенный алгоритм использования лапласиана для улучшения изображений сводится к следующему: Здесь - значение центрального коэффициента маски лапласиана [1; 197-203с.]. Теперь будем рассматривать задача управления с яркостью изображения в следующем виде (см. [1]- [6]) (8) где левая часть уравнения дискретный аналог лапласиана функции яркости изображения , а яркости изображения в точке, т.е. значение уровней яркости изображения соответствующих пикселей , управляющие параметры, управляющий параметр преследующего игрока, управляющий параметр убегающего игрока. Не ограничивая общности, удобно считать(см.(*)), что если либо либо либо либо то т.е. изображение окаймлено пикселями с нулевыми значениями уровня яркости. Задача преследования ставятся следующим образом. Преследующий игрок, распоряжаясь со своими управлениями в пределах изменения может, изменит решения уравнения (*) значение уровней яркости изображения, точно также убегающий игрок, распоряжаясь со своими управлениями, может, изменит яркости изображения. Мы будем, изучат задачу со стороны преследующего игрока - задача преследования. Преследование считается завершенным, если удовлетворяют условие: где для некоторых заранее заданных Эта означает что значение уровней яркости изображения в заранее заданных пикселях было в некотором отрезке который хочет преследующий. Преследующий игрок хочет быстрее завершит игру, а убегающий игрок, вообще говоря, будет помещать этому. Обозначая, имеем , (9) где и управляющий параметр преследователя; управляющий параметр убегающего игрока: компоненты, которые удовлетворяет условию, а квадратная якобиева- трехдиагональная матрица [5] вида терминальное множество, которое игра заканчивается. Цель настоящей работы - изучение игровых задач преследования с уровней яркости цифрового изображения, описываемых дискретными линейными уравнениями второго порядка. Этого класса дискретных игр получены достаточные условия для возможности завершения преследования, когда положение объекта задано в граничных моментах. Вместо игры (9) будем рассматривать более общую дискретную игру, которое движение точки мерного эвклидова пространства описывается уравнениями , (10) , (11) где - номер шага, - постоянная квадратная матрица, - управляющие параметры, - параметр преследования, - параметр убегания, , и - непустые множества, параметр выбирается в виде последовательности параметр - в виде последовательности Кроме того, в выделено терминальное множество . Цель преследующего игрока вывести на множество , убегающий игрок стремится этому помещать. Определение. Будем говорить, что в игре (10), (11) из «граничного» положения можно завершить преследования за шагов, если по любой последовательности управления убегания можно построить такую последовательность управления преследования, что решение уравнения , , , , при некотором попадает на . Пусть дискретная игра описывается уравнениями (10), (11). Через - обозначим полином Чебышева второго рода степени (12) Отсюда легко можно получить следующее: , , , , и т.д., имеются следующие рекуррентные соотношения , , , (13) Далее обозначим через матричный полином Чебышева от матрицы , определяемой по рекуррентным формулам (13). Отсюда из (12), (13) получим: , , , , где - единичная, а - нулевая матрица. Лемма. Пусть , - заданные управления. Если матрица такова, что невырожденная матрица, то решения уравнения (10) с граничными условиями , определяются формулой Предположение 1. , где - линейное подпространство ; - подмножество подпространства - ортогонального дополнения в . Через обозначим операцию ортогонального проектирования из на , а через и - алгебраическую сумму и геометрическую разность множеств соответственно. Пусть и ; здесь - матричный полином Чебышева. Предположение 2. Пусть существует такое , что и Теорема 1. Если выполнены предположения 1, 2, то в игре (10),(11) из «граничного» положения возможно завершение преследования за шагов. Пусть , , , , , , Предположение 3. Пусть существует такое , что и Теорема 2. Если выполнены предположения 3, то в игре (10), (11) из «граничного» положения возможно завершение преследования за шагов. Пусть , и , . Положим , , , , , Предположение 4. Пусть существует какое , что , Теорема 3. Если выполнены предположения 4, то в игре (10),(11) из «граничного» положения возможно завершение преследования за шагов.

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.