К ВОПРОСУ ОБ ИССЛЕДОВАНИИ УСТОЙЧИВОСТИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ Яблонский Д.В.

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского


Номер: 7-1
Год: 2017
Страницы: 12-16
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

Дифференциальные уравнения, система с запаздыванием, робастность, Differential equations, system with delay, robustness

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

Представленная работа посвящена исследованию проблемы робастных систем с запаздыванием. Стохастические дифференциальные уравнения, под которыми понимается целый класс уравнений с запаздывающим аргументом, позволяют описать динамику непрерывной компоненты.

Текст научной статьи

В настоящее время все больший интерес у исследователей вызывают процессы и системы, математические модели которых описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, параметры которых - случайные функции времени. Среди таких систем выделяют класс так называемых гибридных систем, отличительной особенностью которых является наличие в пространстве состояний двух компонент: дискретной и непрерывной. Многие реальные процессы в природе и технике имеют последействие, т.е. их поведение определяется состоянием не только в текущий момент, но и в предшествующие. Вообще говоря, под дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом понимается целый класс уравнений, в котором выделяют класс уравнений с запаздывающим аргументом. Естественная классификация уравнений с отклоняющимся аргументом предложена Г.А. Каменским [4]. Рассмотрим дифференциальное уравнение -го порядка с отклонениями аргумента (в связи с тем, что целью работы является рассмотрение дифференциальных уравнений с постоянными запаздываниями, то, не ограничивая общности классификации, будем рассматривать уравнения с постоянными отклонениями аргумента) (1.1) где отклонения . Под понимается -я. производная от функции , взятая в точке Обозначим Уравнения, для которых λ > 0, называются уравнениями с запаздывающим аргументом. Уравнения, для которых λ = 0, называются уравнениями нейтрального типа. Уравнения, для которых λ < 0, называются уравнениями опережающего типа. Другими словами, если в уравнении (1.1) переменная входит с высшей производной меньшей, чем высшая производная переменной x(t), то уравнение (1.1) является уравнением с запаздыванием. Например, в уравнении (1.2) Если а остальные то λ > 0 - уравнение (1.2) является уравнением с запаздывающим аргументом. Рассмотрим простейшее дифференциальное уравнение с запаздыванием (1.3) где запаздывание положительная постоянная. Основная начальная задача заключается в определении непрерывного решения x(t) уравнения (1.3) при при условии, что где - заданная непрерывная функция, называемая начальной. Отрезок на котором задана начальная функция, называется начальным множеством и обозначается ; точка называется начальной точкой. Предполагается, что Для уравнений с запаздывающим аргументом основная задача поставлена и подробно изучена А.Д. Мышкисом [7] и Л.Э. Эльсгольцем [8]. Впервые уравнения подобного типа появились в науке во второй половине XVIII в. (Кондорсе, 1771 г.), но систематическое изучение уравнений с отклоняющимся аргументом началось лишь в XX в. (А.Д. Мышкис, Л.Э. Эльсгольц, Е.М. Райт и Р. Беллман) в связи с открывшимися возможностями использования на практике, например, в теории автоколебательных систем, в теории автоматического управления, при изучении проблем, связанных с горением в ракетном двигателе, ряда биофизических проблем, долгосрочного прогнозирования в экономике и т.д. К настоящему времени изучению гибридных систем посвящено множество работ, из которых, не претендуя на полноту, отметим монографии M. Мэритона [11], В.А. Бухалева [1; 2], И.Е. Казакова и В.М. Артемьева [3], статьи П.В. Пакшина [12], Д.В. Яблонского [9;10; 12]. Основной заслугой Л.Э. Эльсгольца является то, что он в числе первых, кто организовал ее всестороннее изучение теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом как самостоятельной области математического анализа. При изучении реальных систем с последействием в качестве исходного приближения предполагалось, что запаздывание постоянно. Такое рассмотрение представляет собой шаг вперед по сравнению с моделью "идеального" процесса, которая получается, если предположить, что последействия вовсе нет, что "срабатывание" происходит мгновенно. В ряде случаев предположение о том, что = const, хорошо отражает действительные явления, например, когда запаздывание связано с передачей звукового сигнала, с гидравлическим ударом или другим волновым процессом. В других случаях такое предположение описывает процесс лишь приближенно. Более полный анализ показывает, что в ряде важнейших случаев в реальных системах запаздывание зависит не только от времени, но и от самой искомой функции и даже ее производных. В некоторых случаях естественно предположить, что указанная зависимость вообще не является детерминированной, а имеет случайный характер. Стохастические дифференциальные системы с запаздыванием обладают рядом особенностей, которые описаны в работе Л.Э. Эльсгольца [8]. В частности, рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение (1.4) с постоянными коэффициентами, постоянными и с начальным условием (1.5) Было показано, что для уравнения (1.4) имеет место Теорема 1. Пусть выполнены условия Тогда тривиальное решение уравнения (1.4) асимптотически устойчиво в среднем квадратическом. В то же время рассмотрим уравнение (1.6) с постоянными коэффициентами, причем Положим функционал Ляпунова-Красовского Тогда по формуле Ито где - оператор математического ожидания. Функция дифференцируема и удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению решения которого неустойчивы. Однако, если добавить к уравнению (1.6) член с запаздыванием, то оно может быть сделано асимптотически устойчивым в среднем квадратическом (по предыдущей теореме). Последнее означает, что последействие в реальных системах может оказывать стабилизирующее воздействие: система из неустойчивой становится асимптотически устойчивой. В задачах, связанных с существованием периодических решений и с явлениями резонанса, часто нельзя пренебрегать даже сколь угодно малыми запаздываниями. Пример 1. Уравнение где - постоянные, может иметь периодические решения при сколь угодно малых , тогда как при = 0 это уравнение периодических решений не имеет. Пример 2. Для уравнения где - постоянные, явление резонанса может наблюдаться при сколь угодно малых , в то время как при резонанс невозможен. В линейных системах с отклоняющимся аргументом наблюдаются также специфические явления: резонанс начальных функций и резонанс отклонений аргумента. Пример 3. Уравнение где - натуральное число, с начальными условиями при имеет решение Явление резонанса связано с выбором начальной функции, резонанс становится особенно заметным при больших значениях . Пример 4. Уравнение при , где - натуральное число, имеет решение Явление резонанса связано с выбором запаздывания. Как известно из общей теории устойчивости, для исследования устойчивости дифференциальных систем без отклонения аргумента используется второй метод Ляпунова. Однако для уравнений с отклоняющимся аргументом перенос второго метода Ляпунова нельзя рассматривать как общий метод исследования устойчивости. Значительно плодотворней оказалась идея Н.Н. Красовского [5;6], предложившего вместо функций Ляпунова рассматривать обладающие аналогичными свойствами функционалы. Изложим основные идеи этого подхода. Рассмотрим вектор-функции х(η) с компонентами определенные на отрезке При каждом на вектор-функциях х(η) определяется функционал Определение 1. Функционал называется определенно-положительным, если существует непрерывная функция , такая, что при и Введем обозначения для нормы вектор-функции x(η): Определение 2. Функционал имеет бесконечно малый высший предел, если существует непрерывная функция такая, что Следующие теоремы являются основными в теории устойчивости дифференциальных уравнений с запаздыванием (и даже в более общем случае - дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом). Теорема 2 (Н.Н. Красовский об асимптотической устойчивости). Тривиальное решение уравнения (1.3) равномерно асимптотически устойчиво, если существует, непрерывный определенно-положительный функционал при и допускающий бесконечно малый высший предел и такой, что производная, от то t является определенно отрицательной. Здесь - решение системы (1.3), определенное начальной вектор-функцией, где | достаточно мало. Замечание 1. Теорема 2 Н.Н. Красовского об асимптотической устойчивости допускает обращение, т.е. если система (1.3) имеет равномерно асимптотически устойчивое тривиальное решение, то существует функционал удовлетворяющий всем условиям теоремы 2 об асимптотической устойчивости и условию Липшица: В предположении, что правые части системы (1.3) непрерывны и удовлетворяют условию Липшица по всем аргументам, начиная со второго, может быть сформулирована следующая Теорема 3 (Н.Н. Красовского об асимптотической устойчивости). Решение системы (1.6) асимптотически устойчиво, если существует функционал удовлетворяющий условиям: где - монотонно возрастающие функции при, причем - непрерывные, положительные при функции. Таким образом, мы видим, что обилие процессов с последействием стимулирует бурное развитие теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, и в настоящее время эта теория принадлежит к числу наиболее быстро развивающихся разделов теории дифференциальных уравнений и теории управления.

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.