НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ, СВЯЗАННЫЕ С РЕШЕНИЕМ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА НА ПОЛУПОЛОСЕ Алиев Н.А.,Аббасова А.Х.

Бакинский государственный университет


Номер: 8-1
Год: 2017
Страницы: 6-11
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

уравнение Гельмгольца, необходимые условия, условия Зоммерфельда, Helmhols equation, necessary conditions, Sommerfeld conditions

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

Представленная работа посвящена нахождению необходимых условий, связанных с исследованием решения одной граничной задачи для двумерного уравнения Гельмгольца на полуполосе. Отметим, что в уравнении рассматриваемой задачи вместо оператора Лапласа взято произвольное дифференциальное выражение из производных второго порядка с постоянными коэффициентами. Получены необходимые условия, при помощи которых, поставленную граничную задачу можно свести к системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода с регулярным ядром относительно граничных значений и получить аналитическое представление решения.

Текст научной статьи

Рассматривается граничная задача: (1) (2) (3) для которой выполняются следующие условия: 10. полуполоса в действительной области , коэффициенты уравнения (1) - заданные действительные числа, где а действительный параметр. 20. т.е. Уравнение (1) эллиптического типа. 30. Граничные условия (2) линейно-независимы, коэффициенты являются непрерывными действительнозначными функциями, причём при принадлежат классу Гёльдера с индексом . 40. Правая часть и коэффициенты граничного условия (3) при являются непрерывными действительнозначными функциями, а при принадлежат классу Гёльдера с индексом . Как известно [2],[3], фундаментальное решение уравнения (1) имеет вид : , (4) где -функция Хенкеля, причём - (5) заданная метрика. Наконец, условия излучения Зоммерфельда [1,505] имеют вид (6) Необходимые условия строятся при помощи второй формулы Грина [2], [3] и её аналогов [4], [5]. Эти необходимые условия содержат сингулярные слагаемые, которые не подчиняются общему положению [5] и регуляризируются своеобразным методом. Итак, первое необходимое соотношение получается из второй формулы Грина. Для этого умножив уравнение (1) на фундаментальное решение (4) и проинтегрировав по всей области , получим : Перепишем это условие в следующем виде: Наконец, учитывая, фундаментальное решение (4) уравнения (1) и условия излучения (6), в последнем равенстве, получим: (7) (7) является первым основным соотношением, полученным при помощи второй формулы Грина. Первая часть этого соотношения при является произвольным решением уравнения (1), определённым в области , а вторая часть при задаёт первые необходимые условия. Отделим эти необходимые условия, для этого подставим в (7) : (8) А теперь достаточно подставить в (7) и (9) (10) Таким образом, получаем следующее утверждение: ТЕОРЕМА1 При заданных условиях 10, 20 для решения уравнения (1), определённого в области существуют основное соотношение (7) и необходимые условия (8)-(10), содержащие сингулярности. Для второго основного соотношения обе части уравнения (1) умножим на производную первого порядка по фундаментального решения (4) и проинтегрируем по области : (11) Применим к последнему выражению формулу интегрирования по частям так, чтобы производные функций и в интегралах по границе выше первого порядка, а в интегралах по области выше второго порядка не участвовали. После преобразований каждого слагаемого входящего в левую часть (11) , получим : (12) здесь при получении второго из основных соотношений в (12) было использовано условие излучения (6). Второе из выражений в (12), соответствующее также является необходимым условием. Выделим эти условия: (13) (14) (15) Таким образом , имеет место следующее утверждение: ТЕОРЕМА 2 При заданных условиях 10, 20 для решения уравнения (1), определённого в области существуют второе основное соотношение (12) и необходимые условия (13)-(15). Наконец, для нахождения третьего основного соотношения обе части уравнения (1) умножим на производную первого порядка по фундаментального решения (4) и проинтегрируем по области : (16) Как и в случае первого, и второго основного соотношения, после преобразования каждого из слагаемых в (16), учитывая фундаментальное решение и свойство дельта-функции Дирака, получим: (17) здесь, при нахождении третьего основного соотношения (17) также было использовано условие излучения (6). Второе из соотношений в (17) при является необходимым условием. Выделим его: (18) (19) (20) Таким образом, имеет место следующая теорема: ТЕОРЕМА 3 При заданных условиях 10, 20 для уравнения (1), определённого в области существуют третье основное соотношение (17) и необходимые условия (18)-(20).

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.