ОБ ОДНОЙ ЛОКАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ ДЛЯ ПЛОТНОСТЕЙ В ОБЛАСТИ БОЛЬШИХ УКЛОНЕНИЙ Сангинов М.Б.

Ташкентский химико-технологический институт


Номер: 3-
Год: 2018
Страницы: 8-15
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

функция плотности, случайная величина, независимые одинокого распределенные, интеграл, density function, random variable, independent lonely distributed, integral

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

В статье рассматривается предельное поведение в области большого отклонения функции плотности суммы независимых одинаково распределенных случайных величин, имеющих функцию плотности h(x) с регулярным хвостом вариации е. где и l(x) - функция медленного изменения.

Текст научной статьи

Пусть ξj j=1,2,…независимые одинокого распределенные (н.о.р.) случайные величины (с.в.) с общей плотностью . Неограничивая обобщенности, предположим, что (1) Пусть , а плотность распределения с.в. . В данной статье рассматривается предельное поведение плотности , в случае когда х изменяется в области больших уклонений, т.е. при при условии, что плотность при имеет правильное изменение, т. Е [1,2]. (2) где -медленно меняющаяся функция(м.м.ф.) Предположим, что . (3) Теорема. Пусть и при и , тогда имеет место . Введем следующие обозначения, которых будем придерживаться в дальнейшим в контексте статьи. В частности, буква с означает произвольную положительную постоянную, некоторую величину, изменяющуюся в (-1,1), -некоторую функцию со свойством: при , j=1,2,…н.о.р. с.в. с плотностью (4) где , . (5) Сформулируем и докажем ряд вспомогательных утверждений, которые используем при доказательстве сформулированной теоремы. Заметим, что во всех этих утверждениях имеем (6) Лемма 1. Пусть . Тогда в условиях (6) при . Доказательство. В виду (4) и (5) можем записать (7) Оценим эти интегралы в отдельности. Начнем с I2 . Согласно(2) имеем В силу выбора s и γ легко получим . (8) Далее, (9) Легко видеть, что С учетом (1) находим (10) Оценим теперь (11) При имеем . Тогда в силу (1) в наших условиях получаем (12) (13) Подставляя (10)-(13) в (9), получаем . (14) С учетом (7),(8) и (14) следует утверждение леммы 1. Пусть и характеристические функции (х.ф.) соответственно ξ1 и ξ1(s). Лемма 2.В условиях (А) имеет место . Доказательство. Согласно лемме 1 имеем Тогда из (3) и (4) находим Далее, рассмотрим . Таким образом, окончательно имеем Из последнего утверждения в силу условий (А) получим утверждения леммы 2. Прежде чем сформулировать следующую лемму, сделаем несколько замечаний относительно плотности ,определенной в (4). Заметим, что , где , а s определено в (6). Согласно (3) находим Далее с учетом (6) . При монотонно растет. Следовательно, имеем . Таким образом, установлено, что в нашем случае . С учетом этого имеем . (15) Положим , а плотность распределения с.в. . Лемма 3. В условиях (А) при имеет место Доказательство. В виду (15) имеем (16) Область интегрирования в (16) разделим на две части: и , где -любое фиксированное число из (0,1). Обозначим через I1 и I2 интегралы, отвечающие этим областям. В силу леммы 2 в наших условиях имеем Тогда при достаточно больших х и n где С учетом (15) получаем (17) Оценим теперь . Согласно (3) и (4) В силу выбора можно добиться того, чтобы Тогда имеем (18) Для оценки мнимой части х.ф. имеем (19) Начнем с оценки I2. (20) При монотонно возрастает, поэтому В силу выбора и s , с учетом (20) получим (21) Оценим теперь 1. (22) Легко видеть, что . (23) Далее запишем (24) где, U достаточно большое число. При с учетом (1) (25) Тогда как (26) Из (22)-(26) ввиду произвольности U , при следует (27) Учитывая (19), (21), (22) и (27) находим Таким образом, из последнего с учетом (18) находим, что при В силу выбора (28) Из (17) и (28) получим утверждения леммы 3. Перейдем непосредственно к доказательству теоремы. Плотность запишем в виде (29) Оценим каждое слагаемое по отдельности. Начнем с первого. Согласно тождеству Крамера [2] в виду (3) и (4) имеем В силу (6) при из утверждений леммқ 1 и 3 имеем (30) Оценим теперь . Легко видеть что Используя свойства м.м.ф. [3], имеем . Следовательно, при получаем (31) Осталось оценить Для этого поступим следующим образом: (32) Здесь так, что . Далее, пусть н.о.р. с.в. с плотностью Нетрудно видеть, что (33) а Положим , а -плотность распределения с.в. Теперь вернемся к (32) и оценим каждое ее слагаемое по отдельности. Начнем с оценки . (34) Легко видеть, что . (35) Далее, при имеем В силу этого получаем Из (33) и (34) в силу центральной предельной теоремы (36) Итак, (37) Оценим теперь Из (36) (38) Осталось оценитьС учетом (35) имеем В наших условиях Согласно (36) в силу выбора получаем (39) Подставляя (37)-(39) в (32) находим (40) С учетом (29),(30),(31) и (40) следует утверждение теоремы. Теорема доказана.

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.