О ЗАДАЧАХ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ Макин А.С.

Московский государственный университет приборостроения и информатики


Номер: 5-1
Год: 2014
Страницы: 14-15
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

спектральные разложения, корневые функции, spectral expansions, root functions

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

Статья посвящена изложению основных методов исследования сходимости спектральных разложений, отвечающих обыкновенным дифференциальным операторам. Дан краткий обзор полученных результатов.

Текст научной статьи

Спектральная теория линейных дифференциальных операторов является интенсивно развивающейся областью современной математики, имеющей многочисленные приложения в математической физике. Применение метода Фурье для нахождения решения дифференциального уравнения в частных производных всегда приводит к задачам исследования спектра и разложения произвольной функции в ряд по корневым функциям дифференциального оператора. Впервые крупные успехи в области несамосопряженных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений были достигнуты Г. Биркгофом и Я.Д. Тамаркиным. Огромное влияние на последующее развитие теории оказала фундаментальная работа М.В. Келдыша [1], позволившая установить полноту системы собственных и присоединенных функций для широких классов краевых задач. Однако, соответствующие биортогональные ряды Фурье, вообще говоря, не обладают свойством базисности. Изучению достаточных условий сходимости спектральных разложений, отвечающих обыкновенному несамосопряженному дифференциальному оператору, заданному на некотором интервале G, были посвящены работы многих математиков. Наибольшее внимание уделялось двухточечным краевым задачам, когда краевые условия задаются на концах интервала G. В.П. Михайловым [2] и Г.М. Кесельманом [3] было установлено, что система корневых функций указанного оператора, рассматриваемого на интервале (0,1), с усиленно регулярными краевыми условиями образует базис Рисса в пространстве L2(0,1). Различные аспекты спектрального анализа двухточечных краевых задач с обширной библиографией изложены в монографиях Э.А. Коддингтона и Н.Левинсона [4], М.А. Наймарка [5], Н . Данфорда и Дж.Т. Шварца [6]. В ряде работ исследовались краевые задачи на собственные значения с интегральными и, в частности, многоточечными краевыми условиями. Подробный перечень литературы по данному вопросу указан в обзоре А.М. Кралла [7]. В упомянутых выше работах авторы исходили из классического определения собственных и присоединенных функций дифференциального оператора, в соответствии с которым они должны удовлетворять каким-либо конкретным краевым условиям. В этом случае спектральный анализ рассматриваемой краевой задачи проводился по следующей схеме. Вначале исследовались свойства характеристического определителя D(l) и устанавливалась асимптотика собственных значений. Далее доказывались соответствующие оценки для функции Грина G(x, x, l) (ядра резольвенты оператора), из которых вытекала полнота и минимальность системы корневых функций {un}, например, в пространстве L2. Наличие указанных свойств у системы {un} позволяет поставить более сложный вопрос о сходимости (базисности) биортогонального ряда по собственным и присоединенным функциям или о суммировании его методом Рисса или методом Абеля. Для решения данной проблемы вводилась система расширяющихся замкнутых контуров Cn в комплексной l-плоскости, причем каждый контур Cn содержал собственные значения l1,..., ln и не содержал остальных. В силу теоремы о вычетах и свойств функции G(x, x, l) n-ая частичная сумма биортогонального ряда равна соответствующему интегралу от резольвенты по контуру Cn. Во многих случаях тонкими рассуждениями удается получить оценки, характеризующие поведение функции G(x, x, l) на контурах Cn, и доказать сходимость рассматриваемых интегралов при n, стремящемся к бесконечности, т.е. установить сходимость соответствующего обобщенного ряда Фурье. С другой стороны, В.А. Ильиным в [8, 9] была предложена новая, обобщенная трактовка корневых функций, согласно которой собственные и присоединенные функции являются только регулярными решениями соответствующих дифференциальных уравнений с комплексным спектральным параметром. Им были установлены необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом Фурье разложений по понимаемым в указанном смысле корневым функциям обыкновенного несамосопряженного дифференциального оператора любого порядка с совершенно произвольными краевыми условиями и другие результаты. Исследования В.А. Ильина были продолжены его учениками. В работах школы В.А. Ильина накладывались некоторые естественные условия на спектр рассматриваемого дифференциального оператора, которые выполняются для широкого класса задач на собственные значения. Кроме того, требуется полнота и минимальность понимаемой в обобщенном смысле системы {un} собственных и присоединенных функций. Наиболее существенным является условие на рост произведения нормы функции un на норму стоящей с ней в паре функции vn из биортогонально сопряженной системы. Обычно предполагается, что указанное произведение ограниченно одной константой либо растет не быстрее некоторой степени |ln|. Тогда, используя подходящую формулу среднего значения и разрывный интеграл Вебера (разрывный множитель Дирихле), при помощи нетривиальных рассуждений удается доказать сходимость соответствующего спектрального разложения. Достоинством метода В.А. Ильина является то, что краевые условия, которым удовлетворяют собственные и присоединенные функции, совершенно произвольны. Поэтому он применим также к исследованию разложений по системам экспонент. Для изучения сходимости спектрального разложения, отвечающего конкретной несамосопряженной краевой задаче, методом В.А. Ильина необходима проверка фигурирующих в теоремах данного типа условий на спектр и систему корневых функций {un}. Как правило, наиболее сложным моментом является упомянутая выше оценка роста произведения норм функций un и vn. Ее можно получить разными способами, в частности, вычислив главный член асимптотики указанных функций. Искомая оценка также может быть установлена в результате исследования главной части функции Грина в окрестности собственного значения ln [1]. Заметим, что указанное исследование неизбежно должно быть проведено при изучении рассматриваемой задачи на собственные значения методом Бирхгофа-Тамаркина (методом интегрирования резольвенты), когда от контура Cn-1 переходят к контуру Cn. Однако, имея теорему типа В.А. Ильина, достаточно ограничиться оценками функции Грина вблизи полюсов и нет необходимости изучать ее поведение на всем замкнутом контуре. Отсюда можно сделать вывод о взаимной дополняемости двух обсуждаемых методов и целесообразности их комбинирования при решении проблем спектрального анализа обыкновенных несамосопряженных дифференциальных операторов.

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.