ПОСТРОЕНИЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СЕМЕЙСТВА РОБАСТНЫХ СТАБИЛИЗИРУЮЩИХ РЕГУЛЯТОРОВ ГИБРИДНЫХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ Яблонский Д.В.

«Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского», Арзамасский филиал


Номер: 7-1
Год: 2014
Страницы: 65-69
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

Гибридная система, запаздывание, робастное управление, Hybrid system, time-delay, robust control

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

В статье рассматривается задача синтеза параметрического семейства регуляторов с обратной связью по состоянию гибридной системы с запаздываниями, которое гарантирует робастную устойчивость системы в смысле того, что система является асимптотически устойчивой в среднем квадратическом при произвольных интенсивностях перехода между отдельными режимами и произвольных запаздываниях.

Текст научной статьи

1.Введение. В настоящее время наблюдается устойчивый интерес к изучению гибридных систем с запаздывающим аргументом. Под гибридными стохастическими системами, как правило, понимают такие, в которых динамика непрерывной части вектора состояния описывается стохастическими дифференциальными уравнениями, а динамика дискретной части - цепью Маркова с дискретным числом состояний. В ряде работ [1, 776-783; 2, 187-201] рассматривались линейные гибридные системы с запаздыванием. Были получены необходимые и достаточные условия для проверки устойчивости таких систем, достаточные условия робастной стабилизируемости. Также был определен закон управления, который гарантирует робастную стабилизируемость. Однако полученные условия не зависели от величин запаздывания, но зависели от вероятностей перехода между отдельными режимами. Условия, независящие от интенсивностей перехода между отдельными режимами гибридной системы с запаздыванием были получены П.В. Пакшиным и Д.В. Яблонским [3, 412-416]. В работе рассматривается задача определить семейство стабилизирующих регуляторов, которые гарантируют робастную устойчивость линейной гибридной системы с запаздываниями в смысле асимптотической устойчивости в среднем квадратическом (АУСК) при произвольных вероятностях перехода между режимами и произвольных величинах запаздываний. 2. Описание системы Рассмотрим гибридную систему с запаздыванием, описываемую линейным дифференциальным уравнением: где - постоянные запаздывания, ; - матрицы соответствующих размеров - -мерный вектор состояния; - -мерный вектор управления; - марковская цепь с дискретным множеством состояний и матрицей вероятностей перехода где называются интенсивностями перехода. Определим положительную скалярную функции и введем оператор который называется слабым инфинитезимальным оператором или производящим дифференциальным оператором стохастического процесса 3. Робастная устойчивость Сформулируем условия робастной устойчивости автономного класса рассматриваемых систем в том смысле, что гибридная система (1) - (2), при является асимптотически устойчивой в среднем квадратическом при произвольных величинах запаздываний и произвольных В этом случае система описывается дифференциальным уравнением: Достаточные условия робастной устойчивости системы (3) даются следующими теоремами. Теорема 1. Система (3) будет робастно устойчива, если для некоторой положительно определенной симметричной матрицы и постоянной положительно определенной симметричной матрицы существует единственное положительно определенное решение системы уравнений: удовлетворяющее следующей системе неравенств для : Теорема 2. Если для некоторой положительно определенной симметричной матрицы существует положительно определенное решение систем неравенств: то система (3) робастно устойчива. Доказательства теорем 1 и 2 для случая систем с одним запаздыванием были даны П.В. Пакшиным и Д.В. Яблонским [3, 412-416], доказательства теорем в общем случае приведены в монографии Д.В. Яблонского [4, 31-43]. 4. Робастное стабилизирующее управление Вернемся теперь к классу систем, описываемых уравнениями (1) - (2). Поставим задачу найти постоянное (не переключаемое) управление с обратной связью вида которое обеспечивает робастную устойчивость системы. В работе [5, 2855-2866] был найден закон управления с обратной связью вида (8), который гарантирует экспоненциальную устойчивость в среднем квадратическом (ЭУСК) системы: для произвольных где и минимизирует функционал где - оператор математического ожидания при и , - и положительно определенные весовые матрицы. Полученный закон управления представляется в виде где матрица удовлетворяет соотношения Подставляя (11) в (9) получим замкнутую систему Если положительно определенная матрица , кроме того, удовлетворяет системе неравенств то согласно [5, 2855-2866] система (9) ЭУСК при произвольных Применим эти результаты для решения поставленной задачи. Предположим, что существует некоторая положительно определенная симметричная матрица удовлетворяющая уравнениям Подставляя (11) в (1) получим систему Выберем матрицу закона управления (11) в форме (12). Тогда справедлив следующий результат. Теорема 3. Если существуют постоянные матрицы и , удовлетворяющие для некоторых положительно определенных симметричных матриц и для постоянной положительно определенной симметричной матрицы , системе уравнений (12), (13), (16), а также системе неравенств: то система (17) робастно устойчива и стабилизирующее управление задано уравнениями (11)-(12). Доказательство. Выберем функционал Ляпунова в форме [6]: Тогда, применяя (16) и (18), получим Так как матрицы (17) отрицательно определены, то согласно теореме 1 условия (11), (12), (15), (17) гарантируют робастную устойчивость системы (16). Проводя такие же рассуждения для подобной системы и применяя Теорему 2, получим следующий результат. Теорема 4. Если существуют постоянные матрицы и , удовлетворяющие для некоторых положительно определенных матриц , , и постоянной положительно определенной матрицы системе уравнений а также системе неравенств: тогда система (17) робастно устойчива и стабилизирующее управление дается выражениями (11), (19), (20). Итак, в статье рассматривались линейные гибридные системы с запаздыванием. Сформулированы достаточные условия робастной устойчивости в смысле, что изучаемая система асимптотически устойчива в среднем квадратическом при произвольных вероятностях перехода между отдельными режимами и произвольных величинах запаздываний. Приложение условий робастной устойчивости (Теорема 1 и Теорема 2) зависит от качеств устойчивости матриц состояния и матриц запаздывания. Главным результатом работы (Теорема 3 и Теорема 4) являются законы управления с обратной связью. Эти законы управления зависят от неопределенных скалярных параметров и поэтому мы имеем некоторое семейство робастных стабилизирующих регуляторов. Частные случаи данных результатов, в частности для систем с одним запаздыванием, при получены [3, 412-416].

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.