ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ТРЕТЬЕЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ С НЕЯВНЫМ ВЫРОЖДЕНИЕМ Агапова Е.Г.

Тихоокеанский государственный университет


Номер: 9-
Год: 2014
Страницы: 11-13
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

нестационарное уравнение, вырожденное уравнение, краевая задача, приближенные методы, non-stationary equation, degenerate equation, boundary value problem, approximate methods

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

В статье рассмотрена третья краевая задача для одного нестационарного уравнения с неявным вырождением. Рассмотрены приближенные методы при различных начальных условиях задачи.

Текст научной статьи

Несмотря на значительное число публикаций, посвященных теории нелинейных вырождающихся параболических уравнений, нет общих методов доказательства существования, единственности решения краевых задач для подобных уравнений. Одним из факторов, определяющих сложность проблемы, является нелинейность в главной части дифференциального уравнения в частных производных и его вырождение не на заданных многообразиях, а на решении, которое само неизвестно. В связи с этим представляется актуальным развитие численных методов решения нелинейных вырождающихся параболических уравнений. Рассмотрим 3-ю краевую задачу: найти функцию u(x,t), удовлетворяющую уравнению: (1) и условиям: (2) (3) Решение задачи (1)-(3) существует в обобщенном смысле. В общем случае решение существует в обобщенном смысле [1, 2; 2, 6]. Уравнение (1) является нелинейным и вырождающимся при производной по времени; к подобным уравнениям классические методы не применимы. Основным способом решения таких задач являются численные методы. Среди них чаще всего применяют разностные методы благодаря их универсальности и наличию хорошо разработанной теории. В работах [5]-[8] рассмотрена проблема численного решения уравнений с переменными коэффициентами при производной по времени, не зависящих от решения. Для этих уравнений исследуются разностные схемы. Явные схемы являются более простыми для численной реализации, но для их устойчивости требуется ограничение на шаг. При этом порядок аппроксимации ниже, чем в неявных схемах, поэтому явные схемы, как правило, непригодны. Предпочтение отдается неявным схемам, так как они безусловно устойчивы. Введем в нашей области равномерную прямоугольную сетку, образованную пересечением линий xi=ihx, i=1,...,N, и tj=jht, j=1,...,M; величины hx , ht являются шагами сетки по переменным x, t, hx=1/N, ht=1/M. Возьмем . Значения функции в узлах сетки будем обозначать uij=u(xi,tj). Заменим уравнение и начально-краевые условия приближенными формулами. Таким образом, исходная задача (1)-(3), которая может быть записана в операторном виде: , где приближенно заменяется системой разностных уравнений , где Таким образом, для каждого фиксированного j получили систему линейных уравнений вида где А - трехдиагональная матрица Здесь , . Данную систему решаем методом прогонки. Для решения системы (1)-(3) составлена программа на языке Turbo Pascal 7.0. В программе предусматривается проверка условия k>2N, в случае невыполнения выдается сообщение и производится выход из программы. Если условие выполняется, то задается начальное условие ui0, затем правая часть f, затем в цикле на каждом шаге методом прогонки решается система уравнений (3.1)-(3.3), после чего полученные значения выводятся на экран и записываются в текстовый файл. Решение задачи (1)-(3) приближенным методом при различных входных и начальных данных имеет порядок погрешности 10-3, что говорит об эффективности предлагаемого приближенного метода и о достаточной адекватности построенной разностной схемы исходной задаче. Из сравнения полученных результатов наблюдается скачок в начальный момент времени в зависимости от начальных условий и затухание с течением времени.

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.