ЭКОНОМИЧНЫЙ МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ, РАЗРЕШАЮЩИХ НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В ПРЯМЫХ ЦИЛИНДРАХ Иванов Д.Ю.

Московский государственный машиностроительный университет


Номер: 9-
Год: 2014
Страницы: 16-32
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

векторный потенциал, граничное интегральное уравнение, операторный метод, метод граничных элементов, метод Фурье, линейная теплопроводность, полугруппа операторов, прямой цилиндр, vector potential, boundary integral equation, operator method, boundary element method, Fourier method, linear heat conduction, semigroup of operators, straight cylinder

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

Рассматривается экономичный метод вычисления сеточных операторов, разрешающих начально-краевые задачи для однородного уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами в цилиндрической области, с нулевыми начальными условиями и граничными условиями на основаниях и неоднородными граничными условиями на боковой поверхности цилиндра. Экономия достигается за счет вычисления операторов в алгебре полиномов, образованных степенями пространственно-временного полугруппового оператора, а также разделения вычислений по пространственным переменным вдоль образующей и основания цилиндра. Доказана сходимость и устойчивость метода, получены порядки аппроксимации относительно шагов дискретизации по различным переменным. Доказана устойчивая однозначная разрешимость специфических граничных интегральных уравнений в пространствах функций различной гладкости.

Текст научной статьи

В настоящей работе рассматривается операторный метод численного решения начально-краевых задач для однородного уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами в цилиндрической области на конечном временном промежутке (здесь , ; или , - плоская открытая ограниченная односвязная область, , ). Задачи решаются с нулевыми начальными условиями, неоднородными граничными условия первого или второго рода на боковой поверхности цилиндра и нулевыми граничными условия первого, второго или третьего рода на основаниях цилиндра. Для численного решения таких задач применимы три известных подхода: метод граничных элементов (МГЭ), метод конечных элементов и метод конечных разностей. Для получения сеточного оператора, разрешающего задачу в фиксированной точке цилиндрической области, более предпочтительным с точки зрения экономии вычислений является МГЭ, в рамках которого приходится исключать промежуточные величины в узлах на поверхности цилиндра, а не в прилегающей к ней трехмерной области, как в остальных двух методах. Заметим, что использование готовых разрешающих операторов дает ощутимую экономию при получении решения в небольшом количестве точек по сравнению, например, с методом Гаусса, применяемого в рамках МГЭ. Кроме того, наличие готовых разрешающих операторов необходимо для реализации различных методов численного решения обратных граничных задач теплопроводности, например, градиентных [1,150]. Вычисление сеточного оператора, разрешающего трехмерное по пространственным координатам граничное интегральное уравнение (ГИУ) в рамках МГЭ, требует значительных затрат. В работе [2] предложен экономичный метод вычисления операторов, разрешающих рассматриваемые здесь задачи в цилиндре. Экономия достигается благодаря разделению вычислений по переменным ( - граница области ) и и проведению вычислений в алгебре полиномов, образованных степенями некоторого полугруппового оператора. Коэффициенты полиномов - операторы в пространстве функций, заданных на множестве ; полугрупповой оператор действует в пространстве функций на множестве . Те же коэффициенты полиномов получаются при вычислении операторов, разрешающих соответствуюшие рассматриваемым задачам в цилиндре задачи в плоской области , но при этом полиномы образованы степенями полугруппового оператора в пространстве функций на множестве . Основанием для разделения переменных служит аналитический метод решения рассматриваемых здесь задач в цилиндре, являющийся комбинацией метода ГИУ и метода Фурье [3]. При этом ГИУ являются двумерными в том смысле, что определяемые ими векторные потенциалы заданы на плоском множестве , так что сами ГИУ решаются на его границе . Коэффициенты полиномов получаются при решении соответствующих “плоских” задач на основе МГЭ. Заметим также, что кроме экономичности, преимуществом предложенного в [2] подхода является использование одномерных граничных элементов вместо двумерных. Наконец, полученные разрешающие операторы, имеющие вид полиномов, могут быть использованы для экономичного и устойчивого численного решения обратных граничных задач теплопроводности на основе канонической факторизации таких полиномов [4-5]. В настоящей работе проведено теоретическое обоснование эффективности одной из реализаций метода [2]: в параграфе 4 для разрешающих сеточных операторов доказана сходимость и установлены порядки аппроксимации относительно шагов дискретизации по различным переменным при определенных условиях гладкости граничной функции и контура , обоснована устойчивость метода. В параграфе 3 доказана устойчивая однозначная разрешимость ГИУ в пространствах функций различной гладкости, используемая при доказательствах в параграфе 4. Заметим, что в работе [6] исследовалась сходная проблема для задачи Неймана для n-мерного уравнения теплопроводности. Но, во-первых, в настоящей работе рассматриваются специфические ГИУ с ядром, выраженным не только через временнýю полугруппу, как в классических ГИУ задач теплопроводности, но и через пространственную полугруппу. Во-вторых, в работе [6] не указаны достаточные условия гладкости граничной поверхности. В то же время здесь исследовано лишь двумерное ГИУ. По сравнению с работой [2] алгоритм, описанный в настоящей работе, допускает избыточное измельчение шага по параметру полугруппы по сравнению с шагом по времени. Это позволяет добиться большей вычислительной точности без уменьшения шага по времени. Попутно с задачами в цилиндре в параграфах 3 и 4 получены аналогичные результаты и для соответствующих “плоских” задач, причем в случае равенства шагов по параметру полугруппы и по времени предлагаемый алгоритм совпадает для “плоских” задач с обычным МГЭ в непрямой фомулировке. В заключение параграфа 4 продемонстрирован значительный выигрыш по экономичности, который дает предлагаемый метод по сравнению с классическими МГЭ на основе трехмерных ГИУ [7,184]. В параграфе 5 приведены результаты вычислительных экспериментов, которые подтверждают экономический выигрыш. Кроме того, проведено численное сравнение с методом [8], также основанном на аналитическом методе решения задач в цилиндре [3], но в рамках которого разрешающие операторы вычисляются в алгебре полиномов, образованных степенями полугруппового оператора в пространстве функций на множестве . 2. Предварительные сведения и замечания Пусть - кривая класса . Рассмотрим четыре краевые задачи (): (), , , (2.1) где и () - векторные функции со значениями в пространстве , заданные на множествах и , соответственно (все вводимые здесь пространства функций считаем комплексными); - нормаль к кривой в точке , направленная внутрь области ; (непрерывность и дифференцируемость векторных функций предполагается здесь в норме пространства их значений); - коэффициент температуропроводности. Замкнутый оператор определен в пространстве на множестве как . Здесь - замкнутый оператор в : , заданный на абсолютно непрерывных на функциях , таких, что ; - замкнутый оператор в : , заданный на абсолютно непрерывно дифференцируемых на функциях , таких, что (); , где - наименьшее собственное значение оператора . Заметим, что в настоящей работе рассматриваются только линейные пространства и операторы. В работе [3] доказана однозначная разрешимость задач (2.1) в классе при любых ( и - пространства непрерывных и раз непрерывно дифференцируемых векторных функций со значениями в ). Решения имеют вид векторных потенциалов - криволинейных интегралов первого рода: , (2.2a) (), где функция находится из соответствующего ГИУ: , (2.2b) , (). (2.2c) Для уравнений (2.2b) доказана однозначная разрешимость в пространствах и для любой правой части (см. теорему 11 [3]). Здесь , - векторная функция со значениями в , определенная на ; и - нормали к кривой , проходящие через точки и , соответственно, и направленные внутрь области ; дифференцирование и осуществляется по точкам и , соответственно; () - ограниченные операторы в пространстве , определяемые равенствами: (), где , , . Операторы образуют -полугруппу, порождаемую оператором : при . Операторы образуют -полугруппу, порождаемую оператором : (, ), (2.3) где , при этом - собственные значения оператора (, лишь при ), -соответствующие собственные функции, нормированные в . Заметим, что при , при и . Поэтому , при . Таким образом, все рассматриваемые -полугруппы сжимающие, а и - нильпотентные. Наряду с задачами в прямом цилиндре здесь рассматриваются и соответствующие “плоские” задачи в области . Последние допускают аналогичную формулировку на основании уравнений (2.1), где () - операторы в пространстве , обладающие сходными свойствами с операторами (). Решения “плоских” задач также однозначно определяются равенствами (2.2) в соответствующих пространствах, при этом полугруппу заменяем на полугруппу , также сжимающую и нильпотентную. Вследствие этого основные результаты, полученные ниже (теоремы 1-9 и следствия 1-3), справедливы для задач (2.1) как в цилиндре, так и в плоской области. 3. Разрешимость граничных интегральных уравнений в пространствах дифференцируемых функций Введем в рассмотрение параметрические уравнения кривой : , , где - длина дуги, откладываемой от некоторой фиксированной точки в определенном направлении и заканчивающейся в точке . Функции , , периодические с периодом ( - половина длины ), осуществляют взаимнооднозначное отображение множества на множество . Условимся обозначать через и значения параметра, соответствующие точкам и . Тогда интегральные выражения (2.2c) для операторов могут быть записаны в виде: , где , . (3.1) Так как - кривая класса , то она не имеет точек самопересечения, а функции могут быть доопределены при до непрерывных на множестве . На основании этого получаем при () и оценки: , (3.2) где , (), . Введем в пространстве норму: , что делает это пространство банаховым. Условимся оператор , отображающий банахово пространство в банахово пространство , обозначать как (). В силу оценок (3.2) интегральные операторы () ограничены. Введем также в рассмотрение банаховы пространства (), состоящие из элементов , таких, что при и (), с нормой . Будем считать, что . Операторы и коммутируют на множестве , поэтому операторы ограниченно отображают пространства сами в себя. Теорема 1. Пусть . Тогда операторы () () ограниченно обратимы. Доказательство. В теореме 10 [3] доказано, что ограниченный оператор биективно отображает пространство само на себя. Кроме того, ограниченно обратим замкнутый оператор как порождающий -полугруппу, порядок роста которой меньше нуля (вообще говоря, таковыми являются все нильпотентные -полугруппы) [9,136,149]. Учитывая это, а также перестановочность операторов и на множестве , легко приходим к утверждению теоремы. Введем в рассмотрение банаховы пространства (), состоящие из функций , имеющих равномерные на множестве производные : (), с нормой . Будем считать, что . Лемма. Пусть и . Тогда , и оператор () ограничен. Доказательство. Используя формулу Тейлора с дополнительным членом в виде определенного интеграла (ФТОИ), несложно показать, что функции , имеют непрерывные на множестве производные и при условиях и , соответственно (). Пусть . Перепишем представление (3.1) оператора в виде , (3.3) , (). Основываясь на существовании непрерывных и ограниченных на множестве производных (), приходим к существованию в операторной норме равномерных на множестве производных (). Отсюда на основании представления (3.3) и учитывая, что , получаем и оценку: , где . Лемма доказана. Теорема 2. Пусть . Тогда операторы () ограниченно обратимы (). Доказательство. В силу ограниченности операторов (), установленной в лемме, достаточно убедиться, что уравнение (2.2b) имеет единственное решение при условии, что . Для этого представим оператор в виде , где - интегральный оператор вида (3.1) с ядром ; - раз непрерывно дифференцируемая вещественная функция: при , при , при (). Согласно теореме 3 из [3] при функция является аналитической, следовательно, , так как , а ядро оператора тождественно равно нулю при . Кроме того, по условию , поэтому . Полагая , имеем неравенство: , в силу которого к уравнению , эквивалентному уравнению (2.2b), применима теорема Банаха: функция представима в виде ряда (), сходящегося в норме . Кроме того, пусть (). Согласно лемме существуют непрерывные производные () на множестве и справедливы оценки: (), где , . Отсюда получаем, что . Теорема доказана. 4. Построение и обоснование вычислительного алгоритма С учетом оценок (3.2) операторы могут быть представлены в виде: (). Значения функции () - ограниченные операторы (): (, ). При в равномерной операторной топологии существуют непрерывные производные (), для которых справедливы оценки: , где , - некоторые полиномы -ой степени с неотрицательными постоянными коэффициентами, не зависящими от , причем . Введем в рассмотрение ограниченные операторы (): (, , , ), , (, ). (4.1) Теорема 3. Пусть . Операторы () сходятся при по операторной норме к соответствующим операторам () с порядком аппроксимации . Доказательство. Утверждение вытекает из следующих оценок: , , , при получении которых используется ФТОИ, а также неравенства: (). При получении первой оценки учитывается, что . Разобьем кривую на дуги () равной длины (). Обозначим через точки, делящие соответствующие дуги пополам. Введем в рассмотрение пространства сеточных функций со значениями в пространстве , заданных в узлах . Определим в норму: , и зададим проекционные операторы (): , . Очевидно, что такие операторы ограничены: . Введем в пространстве ограниченные операторы : (), где , ; , (). Заметим, что операторы имеют вид скалярных квадратных матриц порядка . Заменяя в выражениях (4.1) операторы операторами , определим операторы (). Заметим, что функции и непрерывно дифференцируемы раз по , если - кривая класса и , соответственно (), а функции вида и могут быть доопределены при до непрерывных на всем множестве . С учетом этого получаем при , , оценки: , где , (4.2) - некоторые полиномы -ой степени с неотрицательными постоянными коэффициентами, не зависящими от . Заметим также, что оценки вида (4.2) справедливы в случае при условии, что , при этом . Определение 1. Пусть - ограниченные операторы в соответствующих пространствах . Будем говорить, что операторы сходятся при к ограниченному оператору () по операторной норме, если при равномерно в шаре . Теорема 4. Пусть . Тогда операторы сходятся при по операторной норме к соответствующим операторам () равномерно по с порядком аппроксимации . Доказательство. Утверждение вытекает из следующих оценок: , , (), при получении которых используется ФТОИ, а также неравенства: (). Введем в рассмотрение ограниченные операторы и (). Очевидно, что при условии (4.3) в силу теоремы Банаха оператор ограниченно обратим, следовательно, ограниченно обратим оператор , и имеют место равенства: , , (). (4.4) Множество значений , обеспечивающих выполнение условия (4.3), обозначим через ; наименьшее обозначим через . Теорема 5. Пусть . Операторы (, ) ограничены в совокупности. Доказательство. Пусть и (, ). Тогда оператор может быть представлен в виде: , где , (); , если ; , если . Пусть . Так как , то имеют место оценки: (). (4.5) В силу оценки (4.5) при существуют операторы , и операторы могут быть представлены в виде (, если ), при этом справедливы равенства: , (). (4.6) С учетом оценок (4.5) и равенств (4.6) получаем оценки: , (), используя которые, завершаем доказательство теоремы: (здесь - константа, не зависящая от и ). Введем в рассмотрение банаховы пространства с нормой . Определение 2. Будем говорить, что ограниченные операторы () сходятся при к ограниченному оператору () по операторной норме, если при равномерно в шаре . Из теорем 1-5 вытекает следующее утверждение. Следствие 1. Пусть . Тогда операторы () сходятся при по операторной норме к соответствующим операторам () с порядком аппроксимации . Пусть значение фиксировано. Тогда существуют непрерывные по производные произвольного порядка (). Операторы () () ограничены и могут быть выражены через ограниченные операторы () (): , , . (4.7) Функции непрерывно дифференцируемы по произвольное число раз, если доопределить () при . Введем в рассмотрение ограниченные операторы (): (, , , ), (4.8) , (, ). Теорема 6. Пусть и . Тогда операторы () сходятся при и фиксированном по операторной норме к соответствующим операторам () с порядком аппроксимации . Доказательство. С учетом равенств () и () утверждение следует из следующих оценок: (,, , ), полученных с помощью ФТОИ.. Введем в рассмотрение ограниченные операторы (): (), где , ; , (). Операторы суть скалярные матрицы размерности . Заменяя в выражениях (4.8) операторы операторами , определим операторы (). По аналогии с определением 1 будем понимать сходимость по операторной норме ограниченных операторов () к соответствующим ограниченным операторам (). Теорема 7. Пусть и . Тогда операторы сходятся при по операторной норме к соответствующим операторам () равномерно по ( фиксировано) с порядком аппроксимации . Доказательство. Утверждение вытекает из следующей оценки: (), при получении которой используется ФТОИ. Введем обозначения: , . По аналогии с определением 2 будем понимать сходимость по операторной норме ограниченных операторов () к соответствующим ограниченным операторам () при . Из теорем 6-7, следствия 1 и ограниченности в совокупности операторов (), вытекающей из интегрируемости при фиксированном функций и на множестве , получаем следующее утверждение: Следствие 2. Пусть и . Тогда операторы () сходятся при и фиксированном по операторной норме к соответствующим операторам () с порядком аппроксимации . Операторы имеют вид: , где - матрицы размерности , вычисляемые с помощью уравнений: (, ). (4.9) При вычислении коэффициентов и интегрирование по осуществляется точно, а по с помощью элементарных формул Гаусса с четным количеством узлов. Параметр позволяет скомпенсировать уменьшение точности вычисления операторов при приближении точки к границе . Дело в том, что при функции и становятся быстро изменяющимися вблизи , и для удовлетворительного описания их требуется более мелкий шаг дискретизации параметра полугруппы . Для обоснования эффективности метода в этом случае докажем сходимость операторов равномерно в области (аналоги теорем 6, 7 и следствия 2 с равномерной сходимостью относительно произвольной замкнутой области формулируются и доказываются совершенно аналогично). Пусть . Тогда интеграл ограничен в области [10,361]. Пусть и . При и для производных () справедливы оценки: , где , - некоторые полиномы -ой степени с неотрицательными постоянными коэффициентами, не зависящими от и , причем , . С учетом этих оценок по аналогии с теоремой 3 доказывается теорема: Теорема 8. Пусть . Тогда операторы () сходятся при и фиксированном по операторной норме к соответствующим операторам () равномерно по с порядком аппроксимации . Далее, пусть - кривая в области , параллельная границе и находящаяся от нее на расстоянии [10,263]. Область между и обозначим через , а через обозначим ее дополнение в области . Если , то . Если , то , при этом , . Здесь - основание перпендикуляра, опущенного из на ; - значение параметра , соответствующее точке . Имеем следующие оценки: (), (), (), (4.10) С помощью оценок (4.10) несложно доказывается следующая теорема: Теорема 9. Пусть и . Тогда операторы сходятся при по операторной норме к соответствующим операторам () равномерно по и ( фиксировано) с порядком аппроксимации . В силу оценок (4.10) операторы (, ) ограничены в сокупности. Поэтому на основании теорем 8, 9 делаем вывод о равномерной сходимости операторов в области : Следствие 3. Пусть и . Тогда операторы () сходятся при и фиксированном по операторной норме к соответствующим операторам () равномерно по с порядком аппроксимации . Итак, операторы аппроксимируют операторы , которые, в свою очередь, разрешают задачи (2.1). Операторы являются дискретными лишь по координатной переменной . Для завершения построения вычислительного алгоритма остается осуществить их дискретизацию по координатным переменным и в случае или только по в случае . Рассмотрим вначале случай , . Введем в рассмотрение пространства (), состоящие из функций , имеющих непрерывные на множестве производные () и (). В пространстве введем норму: , и будем считать , что . Пусть (, , ). В пространстве определим проекционные операторы : , при этом , и на каждом промежутке () функции при фиксированных описываются квадратными трехчленами. Кроме того, пусть (, , ). Аналогично с помощью кусочно-квадратичной интерполяции вдоль переменной определим в пространстве операторы : (). Используя представление интерполяционных трехчленов в форме Лагранжа, легко видеть, что операторы и ограничены: . Если , то имеют место оценки: . (4.11) Операторы (, ) ограничены в совокупности в силу такой же ограниченности операторов (, ) и (). Операторы , , также ограничены в совокупности. Поэтому на основании следствий 2, 3 и оценки (4.11) имеем следующее утверждение: Следствие 4. Пусть . Если , то функции () сходятся при и фиксированном к решению задачи (2.1) в норме пространства равномерно по с порядком аппроксимации . Если , то функции () сходятся при и фиксированном к решению задачи (2.1) в норме пространства равномерно по с порядком аппроксимации . Если же , то существует число , не зависящее от , такое, что . Интегральные выражения (2.3) позволяют вычислить полугрупповые операторы () на интерполянтах в виде конечных сумм: , (4.12) причем значения функций вычисляются точно. Действие тождественного оператора на интерполянтах также описывается равенствами (4.12), где , при этом , , (), . Окончательно равенство может быть записано в следующем скалярном виде: . (4.13a) Здесь - целая часть дроби ; коэффициенты вычисляются с помощью формул: , (), (), . (4.13b) В свою очередь, здесь , где - элементы матриц ; - целая часть дроби , ; (), . Заметим, что увеличение параметра не приводит к измельчению временнóй сетки, а лишь к увеличению объема вычислений разрешающего оператора, определяемого коэффициентами . Заметим также, что хотя в данной реализации шаг по времени совпадает с шагом по параметру полугруппы (но не совпадает с !), но ничто не мешает сделать его не зависящим от . Поскольку порядок аппроксимации относительно выше, чем относительно , можно сделать. Если, например, и , то будут иметь место формулы (4.13), где . Итак, формула (4.13a) позволяет вычислить приближенное решение задачи (2.1) в цилиндре в любой точке . При наличии готовых коэффициентов для этого требуется умножений и делений (УД). Коэффициенты вычисляются с помощью коэффициентов и , которые получаем независимо друг от друга, при этом основные затраты: УД, приходятся на вычисление элементов обратной матрицы по формуле (4.4), т.е. получение сеточного оператора, разрешающего двумерное ГИУ. Непосредственно на вычисление по формулам (4.13b) требуется УД, на по формулам (4.9) - УД, на , , - , , УД, соответственно. Если решение получаем при , , значениях переменных , , , соответственно, то объем вычислений для и возрастает в раз, а для , - в , раз, соответственно (затраты на , разумеется, остаются прежними). Таким образом, в рамках данной задачи используется возможность разделения вычислений по переменным и . Это позволяет значительно сократить расходы на получение разрешающих ее сеточных операторов, которые, в свою очередь, обеспечивают выигрыш при получении решения в случае . Действительно, если не использовать разделения переменных и , то для нахождения сеточного оператора, разрешающего трехмерное ГИУ на полной поверхности цилиндра и равномерной временнóй сетке, требуется УД. Если же решать трехмерное ГИУ методом Гаусса, то каждый раз при изменении значений граничной функции необходимо УД, поэтому при условии использование готовых разрешающих операторов более эффективно.. В случае , по аналогии получаем утверждение: Следствие 5. Пусть . Если , то функции () сходятся при и фиксированном к решению задачи (2.1) в норме пространства равномерно по с порядком аппроксимации . Если , то функции () сходятся при и фиксированном к решению задачи (2.1) в норме пространства равномерно по с порядком аппроксимации . Если же , то существует число , не зависящее от , такое, что . Удаляя переменную и индекс , получаем формулы, аналогичные (4.13), где . Заметим, что при формулы (4.13) определяют приближенные решения задач (2.1) в плоской области , полученные в рамках МГЭ в непрямой формулировке на основе кусочно-постоянной аппроксимации граничной функции [7,168]. 5. Вычислительные эксперименты Рассмотрим численное решение внутренних трехмерных и “плоских” задач (2.1) в случае, когда граница представляет собой окружность радиуса , при этом , , . Решения “плоских” задач вычисляются на окружностях , отстоящих от границы на расстоянии , в узлах , получаемых из в результате подобного отображения на . Решения трехмерных задач вычисляются на круговых цилиндрических поверхностях в узлах . Таким образом, , , . Мелкость пространственно-временно́й сетки определяется значениями , . При вычислении коэффициентов и интегрирование по осуществляется с помощью 12-точечной формулы Гаусса. Граничная функция на цилиндрической поверхности задается формулой ( - полярный угол), а на границе круга - формулой , при этом . “Точные” решения () “плоских” и трехмерных задач (2.1), заданные в узлах и , соответственно, находятся с помощью функций Грина, причем интегрирование функции Грина по временно́й переменной на интервале осуществляется численно с помощью 12-точечной формулы Гаусса, а все остальные интегралы от функции Грина вычисляются с помощью точного почленного интегрирования ее как ряда. Приближенные решения “плоских” и трехмерных задач (2.1), полученные с помощью формулы (4.13) в точках и , соответственно, обозначим через . Близость сеточных функций и определяется величиной относительного среднеквадратичного отклонения: , где , - среднеквадратичная норма. Будем обозначать через и значения для “плоских” и трехмерных задач, соответственно, при заданном значении . Как уже отмечалось, решения “плоской” задачи при можно считать полученными в рамках классического “двумерного” МГЭ на основе кусочно-постоянной аппроксимации. Можно предположить, что его точность не ниже точности соответствующего “трехмерного” МГЭ, примененного к задачам (2.1) в цилиндре и реализованного на граничных элементах (при равных в обоих случаях и ). Поэтому будем сравнивать точность предлагаемого метода с точностью . Таблица Относительные среднеквадратичные отклонения (в процентах) “плоские” 0.9 1 0.21 0.28 0.27 0.63 0.29 0.28 0.31 0.25 2 0.17 0.24 0.26 0.24 0.23 0.24 0.21 0.20 0.5 1 0.23 0.27 0.41 0.53 0.27 0.29 0.32 0.27 2 0.17 0.24 0.28 0.25 0.18 0.25 0.21 0.21 0.1 1 0.81 0.44 5.31 2.77 7.19 1.85 7.31 2.25 2 0.34 0.26 2.52 0.91 3.13 0.61 3.28 0.71 4 0.13 0.24 0.77 0.27 0.74 0.30 0.88 0.29 8 0.12 0.24 0.32 0.15 0.30 0.26 0.21 0.23 0.05 1 0.63 0.41 3.84 3.52 5.35 2.34 5.76 2.96 2 0.33 0.35 2.22 1.11 2.87 0.84 3.02 1.12 4 0.15 0.27 1.08 0.42 1.24 0.40 1.36 0.56 8 0.06 0.23 0.36 0.24 0.27 0.29 0.20 0.40 Данные, приведенные в таблице, свидетельствуют о хорошем совпадении точности с точностью на достаточном удалении от границы. При приближении к границе точность значительно отстает от точности , особенно от , но падение точности удается скомпенсировать за счет уменьшения шага дискретизации параметра полугруппы, т.е. увеличения объема вычисления сеточных операторов (но не измельчения пространственно-временно́й сетки!). А именно, , при и , при . При этом объем вычислений, необходимых для получения разрешающих задачу (2.1) в точках сеточных операторов, возрастает не более, чем в раз. Для сравнения, вычисление аналогичных сеточных операторов на основе классического “трехмерного” МГЭ требует в раз бо́льших затрат. Сравним данный метод, который назовем для краткости “полугрупповым”, со “спектральным” методом вычисления разрешающих задачи (2.1) сеточных операторов [8], также основанном на разделении вычислений по переменным и и аналитическом решении (2.2). “Спектральный” метод использует представление “трехмерных” операторов типа и в виде прямой суммы аналогичных “плоских” операторов, в результате чего “трехмерные” операторы приобретают вид полиномов, образованных степенями оператора , тогда как в “полугрупповом” методе такие операторы представляют собой полиномы, образованные степенями оператора . Представление в виде прямой суммы получается в результате разложения “трехмерных” операторов по базису, образованному собственными функциями сеточных операторов, аппроксимирующих операторы . Благодаря разложению появляется возможность более точно аппроксимировать по переменной каждую компоненту функций и . Особенно это важно для компонент, соответствующих большим собственным значениям , плохая аппроксимация которых в рамках “полугруппового” метода и вызывает падение точности вблизи . Точность решения трехмерных задач (1.2) на основе “спектрального” метода близка к точности решения соответствующих “плоских” задач даже вблизи границы (при одной и той же мелкости сетки на и и достаточно мелкой сетке на ). Об этом свидетельствует пример, приведенный в [8], где рассматриваются те же, что и в настоящем параграфе, задачи в круглом цилиндре с теми же значениями , . Итак, если в “спектральном” методе точность вблизи границы достигается за счет более точной аппроксимации по параметру полугруппы, то в “полугрупповом” методе та же точность может быть достигнута за счет избыточной мелкости шага по параметру полугруппы по сравнению с шагом по времени. В “спектральном” методе затраты на вычисление операторов типа можно оценить как УД. Таким образом, при получении решения в небольшом количестве точек “полугрупповой” метод является более экономичным (примерно в раз), особенно при получении решения вдали от границы . Разумеется, эти подходы можно комбинировать, т.е. использовать избыточную мелкость шага по параметру полугруппы в “спектральном” методе.

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.