РЕШЕНИЕ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ ЗАДАЧ ПРИ ИЗУЧЕНИИ МАТЕМАТИКИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ Глушков А.И.

Белгородский университет кооперации, экономики и права


Номер: 12-4
Год: 2015
Страницы: 85-90
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

образование, педагогика, концепция математического образования, индукция, производная функции, корень уравнения, предел последовательности, задача с параметром , education, pedagogy, the concept of mathematical education, induction, derivative of the function, root of equation, the limit of the sequence, task with parameter

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

Статья посвящена значимости решения нестандартных исследовательских задач при математической подготовке студентов высших учебных заведений и средних профессиональных учебных заведений, приводящих к повышению качества математического образования

Текст научной статьи

Распоряжением Правительства Российской Федерации от 24 декабря 2013 года утверждена Концепция развития математического образования в Российской Федерации. Система высшего и среднего профессионального образования, последипломного образования должны обеспечивать необходимый уровень подготовки кадров для нужд российской экономики, научно-технического потенциала и медицины [1, 2, 3, 4]. Для этого необходима разработка современных программ, обеспечивающих необходимое интеллектуальное развитие студентов на основе фундаментальных знаний и математического аппарата [5]. В результате реализации концепции преподавание математики должно стать прагматичным, быть направленным на то, чтобы учить людей ориентироваться в жизни, разбираться в нестандартных ситуациях, обеспечивать свою безопасность в самом широком смысле. В концепции сказано, что студенты, изучающие математику, должны уделять значительно больше времени, чем в настоящее время, решению творческих учебных и исследовательских задач [5]. Это означает, что нужно учить решать не только стандартные, но и находить время для изучения алгоритмов решения нестандартных задач. В качестве примера нестандартной задачи исследуем одно уравнение в рамках научно-исследовательской работы студентов. Многие задачи, в том числе и на нахождение экстремума, можно решить, не прибегая к помощи производной, используя различные методические приёмы. Но бывают случаи, когда использование производной является единственно возможным вариантом решения. Особенно, если это задача с параметром, которая является нестандартной. Решение задач с параметрами требует от студентов определённой исследовательской деятельности, умения выдвигать и проверять различные гипотезы, проводить логические построения и делать умозаключения. Рассмотрим уравнение, подробное исследование которого приведено в [6, С. 34] и в [7, С. 153], , где . Для решения этого уравнения студентам потребуются знания и умения по таким темам как «Предел функции и последовательности», «Логарифмическая и показательная функции», «Производная». Поэтому решение данной задачи можно рассмотреть как со студентами вуза, так и со студентами второго курса факультета среднего профессионального образования. Проанализировав левую часть уравнения, студенты должны заметить, что все показатели степени образуют бесконечную последовательность, состоящую из одинаковых членов. Поэтому, если убрать из этой последовательности нижний член, то последовательность останется бесконечной, т.е. не изменится. Так как , то заменим последовательность из показателей степени на . Исходное уравнение преобразуется к следующему: . Так как по условию задачи основание степени , то решение уравнения имеет вид . Казалось бы ответ получен, решение уравнения не вызвало затруднений, нужно было только сделать правильную замену. Смоделируем со студентами нахождение корней данного уравнения по полученной формуле, меняя параметр , например, от 1 до 5,5 с шагом 0,1 с помощью электронных таблиц Excel. Для этого в ячейки столбца A введём значения параметра , а в соответствующие ячейки столбца B введём функцию =СТЕПЕНЬ(An;1/An), где An номер ячейки столбца A. Проанализировав полученную таблицу, заметим, что корни уравнения повторяются при различных значениях параметра , например, при и . Так как , то уравнения и будут равносильны, если и . Значит . Решая это уравнение относительно , находим . При получим и , т. е, уравнения и имеют один и тот же корень (см. таблицу). Аналогично, при , получим и . Значит, уравнения и равносильны и имеют корень (см. таблицу). Если вернуться к исходному уравнению, то получим, что уравнения и имеют один тот же корень . При подстановке данного значения в уравнения получим равные числовые значения в левых частях уравнений. Следовательно, должны быть равны и правые части, т. е., должно выполняться равенство 2=4. Аналогично рассуждая, получим, что . Эту цепочку можно продолжать до бесконечности. Делаем вывод, что наши рассуждения были ошибочными и замена последовательности из показателей степени на привела к неправильному результату. Следовательно, выражение имеет другой смысл, который предстоит выяснить. Возьмём произвольное число . Рассмотрим рекуррентно заданную последовательность: , , ,…,. Если эта последовательность сходится, то выражение следует понимать как предел этой последовательности. Пусть число является пределом последовательности . Тогда число должно быть корнем уравнения (1) Данное уравнение равносильно следующему: (2) Уравнение (2) будет иметь решение в том случае, если график функции пересекается с прямой . Построим график функции и прямые при различных значениях параметра с помощью электронных таблиц Excel в одной системе координат. Если , то функция будет убывающей, функция возрастающая. Следовательно, уравнение (2) в этом случае может иметь только один корень. Из рисунка видно, что если , то прямая линия имеет с графиком единственную точку, т. е., уравнение (2) имеет единственный корень , причём . Если прямая, заданная уравнением , является касательной к графику функции , то уравнение (2) также имеет единственный корень. Найдём его, используя геометрический смысл касательной: , , . Подставив найденное значение в уравнение (2), получаем , . Откуда имеем . Так как , то . Из равенства находим . Отсюда следует, что уравнение имеет корень . Прямая линия является касательной к графику функции , когда её угловой коэффициент равен . Значит, если или , то уравнение не имеет решения. Если , то уравнение имеет два решения: и , причем , . Один из корней или должен быть пределом последовательности . Пусть . Если и - корни уравнения, то Используя метод математической индукции, покажем, что последовательность возрастает и ограничена сверху числом . Если , имеем . В этом случае, , т.е. утверждение верно. Предположим, что оно верно при . Докажем, что оно будет верным и при . Так как функция возрастающая, то . Значит . При имеем: . Предположим, что при выполняется неравенство . Отсюда следует, что , . Утверждение доказано. Следовательно, возрастающая и ограниченная сверху последовательность имеет предел. Очевидно, что этот предел должен быть корнем уравнения (1). Ясно, что число не может быть пределом последовательности . Итак, пределом последовательности является число , которое удовлетворяет неравенству . Отсюда следует, уравнение не имеет корней, а уравнение имеет один корень. Пусть . Можно установить, что последовательность уn немонотонная. Рассмотрим две подпоследовательности и , состоящие из членов с чётными и нечётными номерами соответственно. Предел обеих подпоследовательностей должен удовлетворять уравнению (3). Прологарифмируем это уравнение: . Логарифмируя ещё раз, получаем , , . Запишем полученное уравнение в виде: (4). Любой корень уравнения является также корнем и уравнения (4). При . функция убывающая, а функция возрастающая, и уравнение (3) имеет ровно один корень . Для того, чтобы выяснить имеет ли уравнение (3) другие корни, нужно исследовать на интервале . функцию . Заметим, что , и . Так как производная , то . Таким образом, на интервале функция сначала убывает, а затем возрастает. Найдём минимальное значение производной. . , то на интервале . Значит, на всем интервале монотонно растёт и принимает значение 0 в единственной точке . Следовательно, при уравнение (4) имеет единственный корень . С помощью индукции можно доказать, что подпоследовательность убывает и ограничена снизу числом , а подпоследовательность возрастает и ограничена сверху числом . Это означает, что число является пределом этих подпоследовательностей. Выясняя поведение функции при , получим, что уравнение (1) помимо корня имеет еще два корня и , причём . Методом математической индукции можно показать, что подпоследовательность убывает и ограничена снизу числом . А подпоследовательность возрастает и ограничена сверху числом . Значит, сама последовательность не имеет предела. Сделаем выводы. 1. Если , то последовательность сходится к меньшему из двух корней уравнения . 2. При последовательность сходится к единственному корню уравнения. 3. В остальных случаях последовательность не имеет предела. Вернувшись к исходному уравнению , получаем, что если , то уравнение имеет единственный корень, принадлежащий интервалу . Если , то корень уравнения находится в интервале . В остальных случаях уравнение корней не имеет. В заключение скажем, что после исследования данного уравнения, не представляет трудности написать программу на любом языке программирования, которая будет находить корни данного уравнения, так как поиск корней вручную является довольно трудоёмким. Приведём один из вариантов текста программы на языке программирования Паскаль: PROGRAM KOREN; VAR X, B, E: REAL; BEGIN WRITEN (‘ВВЕДИТЕ B=’); READLN (B); WHILE B<=0 DO BEGIN WRITE (‘НЕПРАВИЛЬНЫЙ ВВОД. ВВЕДИТЕ B>0:’); READLN (B) END; E:=EXP(1); IF (B>=1) AND (B<=E) THEN BEGIN WRITELN (‘1<=X<=1^(1/E)’); X:=1; WHILE ABS(LN(X)-LN(B)/B)>0.0001 DO X:=X+0.0001; WRITELN ('КОРЕНЬ X=',X:3:2) END ELSE IF (LN(B)/B>=-E) AND (LN(B)/B<0) THEN BEGIN WRITELN ('E^(-E)<=X<1'); X:=EXP(-E); WHILE ABS(LN(X)-LN(B)/B)>0.0001 DO X:=X+0.0001; WRITELN ('КОРЕНЬ X=',X:3:2) END ELSE WRITELN ('КОРНЕЙ НЕТ'); READLN END.

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.