К ВОПРОСУ О РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ ДИФРАКЦИИ РЕНТГЕНОВСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ НА УПРУГО ИЗОГНУТОМ КРИСТАЛЛЕ В ГЕОМЕТРИИ ОБРАТНОГО ОТРАЖЕНИЯ Чен Т.

Московский государственный университет тонких химических технологий им. М.В. Ломоносова


Номер: 3-1
Год: 2015
Страницы: 22-26
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

волновое уравнение Максвелла, динамическая дифракция, уравнения Такаги, обратное дифракционное отражение, упруго изогнутый кристалл, Maxwell’s wave equation, dynamic diffraction, Takagi equations, backdiffraction, an elastically bent crystal

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

Решение уравнений динамической дифракции рентгеновского излучения на упруго изогнутом кристалле при обратном отражении представлено в виде ряда вырожденных гипергеометрических функций и гамма-функций.

Текст научной статьи

. Постановка задачи Рассмотрим монохроматическую сферическую волну Е0 (r, t) = E0 (r)´exp (ik0 r - iwt), исходящую из точечного источника и падающую на одноосно упруго изогнутый кристалл. Здесь r - радиус-вектор точки на поверхности кристалла, t - время, k0 - волновой вектор падающей волны, w - частота волны. Будем рассматривать двухволновое приближение дифракции. Предположим, что волна Eh дифракционно отражается в направлении волнового вектора kh = k0 + h, h - вектор обратной решетки совершенного неизогнутого кристалла. Тогда волновое поле в кристалле E(r, t) представляет собой когерентную cуперпозицию проходящей и дифрагированной волн: E(r, t) = [ E0 (r) exp (ik0 r) + Eh (r) exp (ikh r)] exp (- iwt ), (1) E0, h = E0, h e0, h , kh2 = k02 = k2. Волновое поле E(r, t) в деформированном кристалле является решением волнового уравнения Максвелла: DE(r, t) + k2e(r) E(r, t) = 0, (2) где диэлектрическая проницаемость e (r) = 1 + c (r), c (r) - поляризуемость изогнутого кристалла, k = w /c= 2p /l, c - скорость света в вакууме, l - длина волны монохроматического падающего излучения. Разложим c (r) в ряд Фурье, ограничившись тремя слагаемыми: c (r) = c0 + ch exp [ ih(r - u (r))] + c-h exp [ - ih (r - u(r))], (3) где c0 , ch и c-h - Фурье-компоненты поляризуемости для совершенного кристалла. Вектор u(r) в (3) описывает упругое смещение атомов кристаллической решетки и в случае одноосного изгиба имеет следующие компоненты [1, 2]: u(r) = (ux, uz), ux = x(z- T/2) /Rx + a1 (z- T/2)2 , uz = - x2 /2Rx - y2 /2Ry + a3 (z- T/2)2 . (4) Здесь Rx - радиус изгиба кристалла в плоскости дифракции, коэффициенты a1 , a2 и a3 зависят от компонент обратного тензора модулей упругости [2], T - толщина кристалла. Упругость изгиба кристаллической пластины предполагает выполнение условия: |Ñu| << 1. Начало декартовой системы координат расположено на серединной плоскости кристалла в его центре. Подставляя уравнения (1) и (3) в уравнение Максвелла (2), получаем систему дифференциальных уравнений второго порядка: DE0 - 2ik{(1-g02)1/2 } - 2kig0 - k2 c0 E0 - k 2 Pc-h exp(ihu)Eh = 0, (5) DEh - 2ik{(1-gh2 )1/2 } - 2ikgh - k2 c0 Eh - k 2 Pch exp(- ihu)E0 = 0, где g0, h - направляющие косинусы падающей и дифрагированной волн соответственно, P = (e0 , eh ) - поляризационный фактор. Учитывая малость взаимодействия рентгеновских лучей с кристаллом, можно пренебречь вторыми производными в уравнениях (5) по сравнению с производными первого порядка. Тогда из (5) получаем систему уравнений Такаги [3, 4]. 2. Обратное дифракционное отражение Обратное дифракционное отражение обладает следующими отличительными особенностями [5-21]: 1) угловая ширина области полного дифракционного отражения на 2-3 порядка больше, чем в случае брэгговского угла qB ¹ p/2, 2) отсутствие геометрических аберраций отраженного пучка в случае дифракции на изогнутом кристалле, 3) высокая степень монохроматичности дифрагированного пучка. Многоволновая обратная дифракция исследовалась в [22-25]. Фабри-Перо-резонатор для рентгеновских лучей в геометрии обратного дифракционного отражения был предложен в работе [26]. Во всех вышеперечисленных работах обратная дифракция рассматривалась при отражении от плоских кристаллов, в лучшем случае в кинематическом приближении от изогнутого кристалла как, например, в статье [21]. В случае обратной динамической дифракции при нормальном падении излучения на кристалл в уравнениях (5) пропадают производные первого порядка по x от амплитуд E0, h и необходимо оставить производные второго порядка по координате x. Именно наличие производных второго порядка по оси X приводит к тому, что при обратном отражении в меридиональной плоскости, содержащей ось X, ширина области полного отражения пропорциональна квадратному корню из фурье-компоненты рентгеновской поляризуемости. 3. Приближенное решение уравнений Такаги В данном параграфе получим приближенное аналитическое решение уравнений Такаги для амплитуд дифрагированной и проходящей волн при обратном дифракционном отражении монохроматической рентгеновской волны от изогнутого идеального кристалла. Пусть рентгеновская волна E0 (r, t) = E0 (r, w) e0 exp(ik0 r - iwt) падает под углом j0 к нормали n к поверхности изогнутого кристалла в его центре. Здесь e0 - вектор поляризации для падающей волны. Предположим, что j0 £ |chr| 1/2 , т.е. падающая волна полностью отражается кристаллом в обратном направлении. Дифракционное отражение в направлении волнового вектора kh является упругим и когерентным, т.е. kh2 = k02= æ2 . Пренебрежем производными первого порядка от полей по x в дифференциальных уравнениях Такаги [3, 4], что верно для (x, z)-области внутри кристалла при условии x >> ztg j0, где с учетом сделанного выше замечания tg j0 ~ |chr |1/2 . Кроме того, допустим, что << æ2. (6) Тогда система дифференциальных уравнений Такаги сводится к дифференциальному уравнению второго порядка для Eh : d2 Eh /dz2 + A(z)dEh /dz + B(z)Eh (z) = 0, (7) где A(z) = A1 + A2 z, A1 = 2i(Dq)2 , A2 = 2iæ/Rz , B(z) = B1 + B2 z, B1 = æ2 {c0 (c0 + a) - ch c- h }/4, B2 = - æ2 (c0 - a)/Rz , a = - 4(Dq)2 , Dq = q - p/2, q - угол скольжения для падающей плоской волны. Решение уравнения (7) имеет вид: + ¥ Eh (z) = (2p)- 1 dk Gh (k) exp (ikz), (8) - ¥ где Gh (k) = exp (- ik2 /2A2 - A1 k/A2 + B2 k/A22 )(1 + ikA2 /B2 )- A3 (iB2 )- 1 , (9) A3 = (A1 A2 B2 - B22 - B1 A22 - A2 3 )/A2 3 . (10) Можно убедиться в том, что для идеального неизогнутого кристалла (A2 ® 0, B2 ® 0) Gh (k) пропорциональна дельта-функции d(k - e1, 2), где e1, 2 - ошибки возбуждения для идеального кристалла: e1, 2 = {iA1 ± (- A12 + 4B1 )1/2 }/2. (11) Амплитуда для дифрагированной волны Eh может быть представлена как в интегральной форме (8), так и в виде бесконечного ряда Лорана. Действительно, разложим функцию (1 + ikA2 /B2 )- A3 в ряд: ¥ (1 + ikA2 /B2 )- A3 = 1 + {Г(n + 1 + A3 )/Г(A3 ) (n + 1)!}(- ikA2 /B2 )n + 1 . (12) n = 0 Здесь Г(x) - гамма-функция. Тогда интеграл (8) равен: + ¥ Eh (z) = (ipB2 )- 1 {dkexp (- k2 /2|A2 |) cos (A1 k/A2 - B2 k/A22 + kz) + 0 ¥ + ¥ + {Г(n + 1 + A3 )/Г(A3 )(n + 1)!}(- iA2 /B2 )n + 1dkexp (- k2 /2|A2 |)cos(A1 k/A2 n = 0 0 - B2 k/A22 + kz) kn + 1}. (13) Учтем, что cos x = (px/2)1/2 J- 1/2 (x), где J- 1/2 (x) - функция Бесселя порядка (- 1/2) вещественного аргумента. Используя теперь формулу Вебера-Сонина [27] для вычисления интегралов в (13), найдем амплитуду Eh Eh (z) = (ipB2 )- 1 { exp(-a2 A2 ) + (Г(n + 1 + A3 )Г(1 + n/2)/Г(A3 )(n + 1)!)´(2- 1 - n/2 A2 - 1 - n/2 )(- iA2 /B2 )n + 1 1F1 (1 + n/2; 1/2; - a2 A2 )}. (14) Здесь коэффициент a = A1 /A2 - B2 /A22 + z > 0, 1F1(a; b; z) - вырожденная гипергеометрическая функция. Используя свойство вырожденной гипергеометрической функции 1F1(a; b; z) = exp(z) 1F1(b - a; b; - z), а также асимптотическое выражение для 1F1(a; b; z): где асимптотический ряд для : = , можно показать, что Eh (z )® 0. Полная амплитуда дифрагированной волны Eh (r) = Eh (z)Eh(x), где Eh (x) = exp(- iæx2 /Rx ). (15) Для амплитуды E0 (z) проходящей волны при тех же предположениях, что и при выводе уравнения (3), получаем следующее дифференциальное уравнение: d2 E0 /dz2 - A(z) dE0 (z) / dz + C(z) E0 (z) = 0, (16) где C(z) = C1 + C2 z, C1 = B1, C2 = - æ2 c0 /Rz . Конечное выражение для E0 (z) определяется формулой (13), в которой надо cделать замены: A1 ® - A1 , A2 ® - A2 , B2 ® C2 . В результате амплитуда проходящей волны равна E0 (r) = E0 (z)E0(x), (17) где . Диапазон углов j0 , для которых справедливы уравнения (7) и (16), определяется неравенством: sin j0 Eh (z)dEh (x)/dx<< cos j0 Eh (x)dEh (z)/dz, откуда с учетом явного вида Eh(x) получаем: tg j0 << Rx (2æx)- 1 |dln Eh (z)/dz|. (18) Неравенство (18) выполняется, в частности, для строгой обратной дифракции, когда j0 º 0. Когда j0 ¹ 0, неравенство (18) хорошо выполняется для tg j0 << x/z. Для слабо изогнутого кристалла с большим радиусом кривизны Rx , когда отражательная способность кристалла близка к отражательной способности плоского идеального кристалла, условие (18) принимает вид: tg j0 << Rx e´(2æx)- 1 , где e - ошибки возбуждения для идеального кристалла. Видно, что для идеального кристалла диапазон углов j0 очень широк и выходит за пределы области полного обратного отражения. Заметим в заключение, что уравнения (7) и (16), а, следовательно, и решения этих уравнений были получены для падения рентгеновской волны на кристалл в области полного обратного отражения, в том числе и при нормальном падении. Ограничение на размер области дифракции вдоль оси x следует из неравенств (6), (15), (17) и (14) и имеет следующий вид: << . (19) Для обратной дифракции с направляющими косинусами g0 = - gh << 1 - |chr |/2, т.е. далеко за пределами области полного обратного отражения, применима «обычная» динамическая теория дифракции [1].

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.