ОПТИМАЛЬНЫЕ ПО ПАРЕТО АППРОКСИМАЦИИ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ФИЛЬТРОВ Смирнов А.В.

Московский государственный университет информационных технологий, радиотехники и электроники


Номер: 5-1
Год: 2015
Страницы: 74-79
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

электрический фильтр, передаточная функция, оптимальность по Парето, численный поиск, electrical filter, transfer function, Pareto optimality, numerical search

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

В статье изложен метод получения аппроксимаций передаточных функций с совместной оптимизацией по трем показателям качества, характеризующим как АЧХ, так и ФЧХ. Полученные решения образуют фронт Парето. Исследованы оптимальность по Парето известных аппроксимаций передаточных функций и возможности их улучшения.

Текст научной статьи

Синтез электрических цепей с заданными характеристиками является одной из основных задач теории электрических цепей. В последние годы интерес к этой области снова возрос в связи с использованием численных методов поиска экстремумов (ЧМПЭ) для решения задач, которые не могли быть решены аналитическими методами, в частности, синтеза фильтров с совместной оптимизацией АЧХ и ФЧХ. Хорошо известны способы аппроксимации передаточной функции (ПФн) фильтра для получения АЧХ, удовлетворяющей определенным требованиям. Результатами являются фильтры Баттерворта, Чебышева, эллиптические [1, 208; 2, 24]. Задание условий на ФЧХ приводит к фильтрам Бесселя [1, 251; 2, 81]. Далее перечисленные типы фильтров называются аналитически аппроксимируемыми (АА фильтры). Аналитические решения задачи аппроксимации с одновременным выполнением требований к АЧХ и к ФЧХ для нескольких частных случаев приведены в [2, 115]. Однако общее аналитическое решение отсутствует. Решения некоторых вариантов этой задачи с использованием ЧМПЭ даны в работах [3-7] и ряде других. Фильтры, аппроксимации ПФн которых найдены с применением ЧМПЭ, далее называются численно аппроксимируемыми (ЧА фильтры). Аппроксимация ПФн электрической цепи, обеспечивающая одновременное выполнение требований к АЧХ и ФЧХ, относится к задачам оптимизации по совокупности показателей качества (ПоК) [8, 28]. Найти решение, при котором одновременно оптимизируются все ПоК, как правило, невозможно. Обычно, уменьшение значений одних ПоК приводит к увеличению других ПоК. В таких задачах применяется понятие оптимальности по Парето [9]. Обозначим S - вектор, координатами которого являются ПоК. Решение, дающее результат S будет оптимальным по Парето (Парето-оптимальным), если изменение решения, дающее уменьшение любого ПоК из S, обязательно приведет к увеличению хотя бы одного из остальных ПоК. Оптимальные по Парето решения образуют в пространстве S поверхность, называемую фронтом Парето (ФП). В данной работе предлагается метод получения ФП для задачи аппроксимации ПФн фильтров с оптимизацией АЧХ и ФЧХ и исследуется Парето-оптимальность известных АА фильтров. В работе рассматривались аппроксимации ПФн аналоговых ФНЧ-прототипов с переходом к нормированной частоте (1) где fc - частота среза. ФНЧ-прототип затем может быть преобразован известными способами в ФНЧ с требуемой частотой среза или в фильтр другого типа [1, 262], а также взят за основу для синтеза цифрового фильтра [10, 400]. Число ПоК, по которым сравнивались различные аппроксимации ПФн, было ограничено тремя: - показатель SP, характеризующий неравномерность АЧХ K(F) в полосе пропускания (ПП) 0 ≤ F ≤ 1; - показатель SS, характеризующий отклонение АЧХ от нуля в полосе задерживания (ПЗ) F > F S , где F S - нижняя граничная частота ПЗ; - показатель SD, характеризующий нелинейность ФЧХ Δφ(F) или, что эквивалентно, неравномерность длительности задержки Δτ(F) в ПП. Показатели должны быть определены так, что уменьшение каждого из них соответствует повышению качества фильтра. Рассматривались ПФн вида (2) Здесь NPP - количество пар сопряженных комплексных полюсов (uk ± jvk), u0 - одиночный действительный полюс. Показатель степени μ равен 1, если порядок ПФн нечетный, и равен 0 в противном случае. Коэффициент K0 обеспечивает нормировку H(0) = 1. Поиск решений осуществлялся в пространстве координат полюсов ПФн. При этом для обеспечения устойчивости контролировалось выполнение условий (3) В проведенных экспериментах было положено umin = u0min = -2; umax = u0max = -0,01; vmin = 0,01; vmax = 2. На каждом шаге поиска после изменения координат одного или нескольких полюсов или нулей ПФн выполнялся расчет значений АЧХ и ФЧХ , (4) (5) для последовательности значений F = 0 ... FM с шагом ΔF = 0,01; верхняя граница анализируемого диапазона частот принималась равной FM = 10. Далее выполнялся расчет ПоК. В случае использования критерия Чебышева расчетные соотношения имели вид: (6) Здесь D(F) = φ(F + ΔF) - φ(F) - функция, пропорциональная производной от ФЧХ, то есть длительности задержки сигнала частотой F. Соотношение для расчета SD обеспечивает приведение значений этого ПоК к диапазону близкому к диапазонам значений SP и SS и независящему от абсолютной величины фазового сдвига. Частота среза FS задавалась равной 2 для фильтров порядка менее 5 и равной 1,5 для более высоких порядков. Алгоритм поиска точек ФП включает задание значений двух ПоК (SP = SP t и SS = SS t) и поиск аппроксимации ПФн, минимизирующей третий ПоК (SD). Минимизируемая целевая функции (ЦФ) имеет вид (7) Первые два слагаемых должны обеспечить минимальное отклонение показателей SP и SS для находимого решения от заданных значений SP t и SS t. Для этого весовые коэффициенты WP и WS задавались равными 1000 и более. Третье слагаемое должно обеспечить минимизацию показателя SD. Логарифмирование необходимо для охвата диапазона значений SD в несколько десятичных порядков. Масштабирующий множитель MD, задававшийся равным 1·104, предотвращает изменение знака логарифма. Весовой коэффициент WD задавался равным единице. Наконец, четвертое слагаемое ST необходимо для предотвращения возникновения выбросов АЧХ в полосе перехода 1 ≤ F ≤ FS и пропорционально максимальному превышению K(F) над единичным уровнем в этой полосе, а в случае отсутствия таких превышений равно нулю. В работе был использован алгоритм с многократным стартом локального поиска минимума ЦФ. Перед началом работы алгоритма задаются значения SP t, SS t и FS . В начале каждого цикла локального поиска случайным образом задаются стартовые координаты полюсов ПФн, удовлетворяющие ограничениям (3). Повторный старт с новыми начальными координатами производится после достижения локального экстремума или после выхода процесса локального поиска за пределы, определяемые (3). Работа алгоритма заканчивается после выполнения заданного числа циклов локального поиска. Результатом являются координаты полюсов, при которых было получено наименьшее значение ЦФ. Алгоритм был реализован в системе программирования C++ Builder. В ходе расчетов были получены множества точек ФП для фильтров с порядком от 4 до 8. В качестве примера рассмотрим результаты для фильтров 6-го порядка (рис.1). ФП, представляющий собой поверхность в трехмерном пространстве, отображен на плоскости (SP, SD) сериями точек, соответствующих заданным значениям SS. Как видно из рис.1, уменьшение одного из ПоК приводит к увеличению двух других ПоК, что является свойством фронта Парето. Отдельные нарушения монотонности графиков, скорее всего, обусловлены тем, что в результате поиска в данном случае найден локальный экстремум недостаточно близкий по значению ЦФ к глобальному экстремуму. Результаты для фильтров других порядков имеют сходный вид. Рис.1. Результаты для фильтров 6-го порядка для критерия Чебышева Для нахождения точки с минимально достижимым при заданном SS значением SD, соответствующей правому концу серии, весовой коэффициент WP в (7) устанавливался равным нулю. При этом минимизировался показатель SD при отсутствии ограничений на показатель SP. Точка с минимальным значением SP при данном SS, соответствующая левому концу серии, определялась по тому признаку, что при дальнейшем уменьшении SP одновременное получение заданных значений SP и SS становилось невозможным. На графики нанесены также точки, отображающие ПоК стандартных АА фильтров, значения которых приведены в таблице 1. Для фильтров Чебышева 1-го рода указаны значения неравномерности АЧХ в пределах ПП. Сопоставление показывает, что точки, соответствующие фильтрам Чебышева лежат на линии, проходящей через левые концы серий точек. Это соответствует определению таких фильтров, как обеспечивающих минимум максимального отклонения АЧХ в ПП. При этом значения SS фильтров Чебышева близки к значениям SS серий точек, на которые эти фильтры попадают. Так точка Ч0.25, отображающая фильтр Чебышева с неравномерностью 0,25 дБ, для которого SS = 0,28, примерно совпадает с концом серии для SS = 0,025. Это позволяет сделать вывод, что фильтры Чебышева являются оптимальными по Парето по совокупности ПоК, заданных соотношениями (6). Таблица 1 Тип Обозначение SP SS SD Баттерворта Бт 0.2929 0.09101 0.5074 Бесселя Бс 0.688 0.06457 0.0988 Чебышева 1 дБ Ч1 0.122 0.01445 1.2177 Чебышева 0.5 дБ Ч0,5 0.0593 0.01988 1.0734 Чебышева 0.25 дБ Ч0,25 0.0292 0.02771 0.9368 Чебышева 0.1 дБ Ч0,1 0.0116 0.04341 0.7763 Точка, отображающая фильтр Бесселя, для которого SS = 0,065, расположена существенно выше правого конца серии с SS = 0,05, что показывает, что данный фильтр не является Парето-оптимальным. Действительно, поиск минимально достижимого SD при таком SS дает аппроксимацию ПФн с показателями качества SP = 0,65; SD = 0,0134, то есть фильтр с примерно такой же неравномерностью АЧХ, но значительно более линейной ФЧХ. Точка, отображающая фильтр Баттерворта, для которого SS = 0,091, расположена намного выше ФП. Неоптимальность этого фильтра по совокупности ПоК (6) вполне ожидаема, так как его АЧХ максимально плоская в начале ПП, а используемые ПоК определяются во всей ширине ПП. Как следует из рис.1, точки, соответствующие АА фильтрам, покрывают лишь небольшую часть ФП, в то время как ЧА фильтр можно аппроксимировать для любого участка ФП. Это позволяет получать с использованием численной аппроксимации ПФн с различными сочетаниями свойств АЧХ и ФЧХ, некоторые из которых могут оказаться полезными на практике. В качестве примера на рис.2 приведены графики АЧХ и дифференциальной нелинейности ФЧХ (ДНФЧХ) для 6 случаев, распределенных вдоль серии точек с SS = 0,25. ДНФЧХ определяется как , (8) где ΔF, D(F) определены после соотношений (5) и (6), Dср - среднее значение D(F) в пределах ПП. Значения ПоК для этих случаев даны в таблице 2. Рис.2. Графики АЧХ и дифференциальной нелинейности ФЧХ для ЧА фильтров с SS = 0,25 и различными значениями SP и SD Таблица 2 График SP SS SD 1 0.76 0.025 0.024 2 0.60 0.025 0.21 3 0.40 0.025 0.33 4 0.25 0.025 0.48 5 0.15 0.025 0.73 6 0.050 0.025 0.92 Фильтр 1 имеет меньшее значение SD, чем фильтр Бесселя, а фильтр 6 близок по значениям ПоК к фильтру Чебышева с неравномерностью АЧХ 0,25 дБ. Между этими крайними точками происходит постепенное уменьшение SP и увеличение SD. Таким образом, применение ЧМПЭ позволяет получить общую картину возможных аппроксимаций ПФн с различными сочетаниями трех ПоК, отображаемую фронтом Парето. Метод позволяет видоизменять определения ПоК. В частности, проводились расчеты для ПоК на основе среднеквадратического критерия. Качественно ФП выглядит похоже, но фильтры Чебышева уже не являются Парето-оптимальными. Одной из следующих задач является исследование аппроксимаций ПФн, имеющих не только полюса, но и нули, в том числе и для неминимально-фазовых цепей. В дальнейшем метод может быть распространен и на другие задачи синтеза.

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.