ЗВЕЗДНЫЕ ФУНКЦИИ ПОРЯДКА α И ТИПА β МНОГИХ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ Султыгов М.Д.

Ингушский государственный университет


Номер: 8-1
Год: 2015
Страницы: 8-11
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

Звездно однолистные функции, порядок, тип, дифференциальный и интегральный оператор, точность, множества, коэффициенты Тейлора, Star univalent function, procedure, type, differential and integral operator, precision, array, the coefficients of the Taylor

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

В статье получены новые результаты звездно однолистных функций порядка α и типа β на случай многих комплексных переменных. Приводятся изоморфизмы с известными классами функций, доказан критерий принадлежности голоморфных функций к исследуемому классу функций, строятся уточненные оценки модуля функции, указываются их точность на некоторых подмножествах. Получены точные оценки коэффициентов Тейлора функций из рассматриваемых классов.

Текст научной статьи

Назовем функцией класса [1,10], если в имеет разложение (1) и, как функция переменного , однолистна в сечении области c комплексной прямой = при функция однолистна в сечении Определение 1. Классом назовем множество всех голоморфных в функций вида (1) таких, что , как функция переменного звездно , однолистна порядка и типа в а при функция звездно однолистна порядка и типа в и, следовательно, удовлетворяет условию: где - суперпозиция операторов [2,10]: , и значение функции выражается в виде определителя матрицы размерности . Обратным к оператору является оператор Легко проверить, что есть класс звездообразных функций порядка , а совпадает с классом [1,12]. Покажем, что . Условие (2) при перепишем в виде или Последнее условие эквивалентно неравенству >, необходимому и достаточному, чтобы функция принадлежала классу . Лемма. Пусть голоморфная в области функция из класса [1,7] удовлетворяет условию для всех точек. Тогда имеет вид где некоторая голоморфная функция класса [1,7]. Наоборот, любая функция, представленная в виде формулы (4), где голоморфна в и удовлетворяет неравенству (3) для всех точек . Теорема 1. Функция принадлежит классу тогда и только тогда, когда существует функция такая, что Доказательство. Пусть . Тогда удовлетворяет первой части леммы и Отсюда Применяя оператор получаем (5). Наоборот, если представимо в виде (5) с , то из него следует (6). Согласно второй части леммы Теорема 2. Пусть функция . Тогда в , имеем оценки: для и для , то (8) Доказательство проводится с помощью работы [4,5]. Замечание 1. Используя интегральное представление (5) класса функций неравенства (7), (8) можно получить, воспользовавшись зависимостью между классами и [1,7]. Замечание 2. Для упрощения записи все рассуждения ниже проводятся для случая двух комплексных переменных, однако полученные результаты легко переносятся на случай многих комплексных переменных. Следствие 1. Если , то в [5,332] имеем оценки: для (9) а при (10) где определены в [6,13] . Положим Точность оценок (9) и (10) для области достигается функцией , а для области , на множестве функцией . Следствие 2. Если функция , то в бицилиндре справедливы оценки вида (9) и (10) с заменой в них на [7,342] . Точность полученных оценок на множестве будет достигаться функцией вида = В приложениях геометрической теории функций многих комплексных переменных необходимы оценки сумм [8,165]: , , для всех ,содержащих коэффициенты Тейлора и точные оценки самих коэффициентов функций из рассматриваемых классов. Эти коэффициенты оцениваются через характеристики областей Поэтому для конкретных областей необходимо уметь вычислить Для тех областей , границы которых дважды непрерывно дифференцируемы и аналитически выпуклы извне, а также для бикруга, величины вычисляются эффективно. Теорема 3. Пусть .Тогда имеют место оценки функционалов: при , где -целая часть числа и a при , Следствие 3. Для функций имеет место оценка коэффициентов Тейлора: при а при имеем , Следствие 4. Если то Последняя оценка ранее была получена в [1,75] .

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.