УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМ ДИСКРЕТНЫМ РЕГУЛЯТОРОМ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМОЙ Гурьянов А.Е.

Санкт-Петербургский государственный университет


Номер: 1-1
Год: 2016
Страницы: 7-9
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

линейный дискретный регулятор, стабилизация, случайный процесс

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

С целью решения задачи стабилизации даётся формула линейного дискретного регулятора преобразующего линейную стохастическую систему управления в такую систему, общее решение которой совпадает с общим решением другой системы в равные моменты дискретизации регуляторов

Текст научной статьи

С целью решения задачи дискретной стабилизации [1] рассмотрим замкнутую линейным дискретным регулятором систему управления + (), (1) где , , 0,1,2,…, - положительная случайная величина, абсолютно непрерывная при и непрерывно дифференцируемая при 0,1,2,…, случайная векторная функция суть матрицы, элементами которых являются случайные величины, - натуральное число. Теорема 1. Нулевое решение стохастической системы дифференциальных уравнений (1) глобально асимптотически устойчиво по А.М. Ляпунову с вероятностью 1тогда и только тогда, когда все собственные числа матрицы , по модулю меньше единицы с вероятностью 1. Если , то . матрица. Например, пусть в системе уравнений (1) , , B. Случайные величины таковы, что . Тогда По теореме 1 для глобальной экспоненциальной асимптотической устойчивости по А.М. Ляпунову нулевого решения необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие два неравенства и . Заметим, что условиям теоремы 1 могут удовлетворять такие стохастические матрицы вещественные части собственных чисел матриц не являются отрицательными числами. Например, пусть в системе уравнений (1) , , B, такая случайная величина, что . Тогда , и модули собственных чисел этой матрицы меньше единицы [1,19]. Более того, условиям теоремы 1 могут удовлетворять такие стохастические матрицы вещественные части собственных чисел матриц являются положительными числами. Например, пусть в системе уравнений (1) , , B, суть такие случайные величины, что . Тогда , и модули собственных чисел этой матрицы меньше единицы [2, 267]. Далее рассмотрим замкнутую нестационарным линейным дискретным регулятором стохастическую линейную нестационарную систему управления + (), (2) где , , 0,1,2,…, положительная случайная величина, абсолютно непрерывная при случайная векторная функция суть матрицы, элементами которых являются измеримые интегрируемые случайные процессы, такие, что операторные нормы этих матриц интегрально ограничены некоторой неотрицательной случайной величиной при , - натуральное число. Обозначим через матрицу Коши (матрицант) соответствующей системе уравнений (2) однородной линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений . Определим с помощью равенства следующую матрицу . Теорема 2. Нулевое решение стохастической системы дифференциальных уравнений (2) глобально асимптотически устойчиво по А.М. Ляпунову с вероятностью 1 тогда и только тогда, когда Теорема 3. Если существуют такие случайная величина и натуральное число , что каждое сингулярное число матрицы при меньше или равно , то тогда нулевое решение стохастической системы дифференциальных уравнений (2) глобально асимптотически устойчиво по А.М. Ляпунову с вероятностью 1. Доказательства теорем 1-3 приведены в работе [1]. Теорема 4. Для любой случайной величины для системы управления (2) существует такая измеримая интегрально ограниченная при стохастическая матрица , что модули всех собственных чисел матрицы , 0,1,2,…, соответствующей системе (2) с этой матрицей , равны . Доказательство. Если в системе управления (2) , то , 0,1,2,…. Модули всех собственных чисел этой матрицы равны. Далее рассмотрим другую замкнутую нестационарным линейным дискретным регулятором стохастическую линейную нестационарную систему управления + (), (3) где , , 0,1,2,…, та же положительная случайная величина, что и в системе (2), абсолютно непрерывная при случайная векторная функция суть матрицы, элементами которых являются измеримые интегрируемые случайные процессы, такие, что операторные нормы этих матриц интегрально ограничены некоторой неотрицательной случайной величиной при , - то же натуральное число, что и в системе (2). Обозначим через Y матрицу Коши (матрицант) соответствующей системе уравнений (3) однородной линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений . Теорема 5. Если в системе управления (2) B(t)= -A(t)+XY)(C(t)+D(t)) при k = 0,1,2,… , (4) то тогда общее решение x(t,) системы уравнений (2) и общее решение y(t, системы уравнений (3) таковы, что x() = y(, при k = 1,2,… . (5) Доказательство. Применяем лемму 1 работы [1] к системе управления (2) с матрицей B(t), имеющей вид (4), и применяем эту же лемму к другой системе управления (3). В результате этих применений леммы устанавливаем, что действительно выполняются равенства (5) с вероятностью 1. Заметим в заключение, что, согласно лемме 2 работы [1], из глобальной асимптотической устойчивости по А.М. Ляпунову с вероятностью 1 нулевого решения стохастической системы дифференциальных уравнений (3) при выполнении равенств (5) следует глобальная асимптотическая устойчивость по А.М. Ляпунову с вероятностью 1 нулевого решения системы уравнений (2).

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.