СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ ФУНКЦИЙ В ПРОСТРАНСТВАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ОБЛАСТЯХ ТИПА ЛАВРЕНТЬЕВА Махина Н.М.

Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского


Номер: 12-1
Год: 2016
Страницы: 10-12
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

ортогональные системы, граница Лаврентьева, базис, orthogonal systems, border Lavrent'eva, basis

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

В статье рассматриваются вопросы ортогональности некоторых систем функций в пространствах аналитических функций в областях типа Лаврентьева

Текст научной статьи

Введем некоторые обозначения. Пусть, стандартно, , - некоторая односвязная область на комплексной плоскости ; функция конформно отображает на , - обратная функция для . Обозначим также - класс кривых таких, что , где , - произвольные точки на кривой, - длина кратчайшей дуги кривой, соединяющей точки [1, 280]. Кроме того, пусть - класс кривых, являющихся гладкими жордановыми всюду, кроме конечного числа точек , в которых кривая образует углы [3]. Класс измеримых по Лебегу в области функций таких, что где - плоская мера Лебега, обозначим ; - подпространство пространства , состоящее из аналитических функций. В работе [3] для односвязной области , , показано, что система функций , (1) является базисом в пространстве , если при , и если при , где . В нашей работе мы доказываем ортогональность некоторых систем функций типа (1) в весовых пространствах функций , , аналитических в областях с границей класса , т.е. в областях Лаврентьева (см., например, [2], [4]). Теорема. Пусть - односвязная ограниченная область, , функция конформно отображает на , причем - некоторая точка из , , - обратная функция для . Если , , то система функций , (2) ортогональна в пространстве . Доказательство. Покажем, что то есть система функций (2) является ортогональной в пространстве . Пусть , заметим, что , что следует из двойного неравенства, выводимого из теоремы Кёбе [1, 51] , (3) тогда достаточно доказать Учтем, что . Переходя к единичному кругу с помощью замены получим: 0 при . Заметим, что с учетом оценок (3) пространство в определенном смысле эквивалентно пространству измеримых по Лебегу в области функций таких, что где - расстояние от точки до границы области . Вопросы ортогональности рассматриваемых систем функций находят широкое применение при исследовании вопросов, связанных со свойствами пространств аналитических функций в областях типа Лаврентьева (см., например, [5]). Например, доказанная теорема использована при рассмотрении вопросов, связанных с построением ортогональных базисов в указанных пространствах (см. [6]).

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.