ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЯВНОГО ОПЕРАТОРНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА Усенов И.А.

Кыргызский национальный университет им. Ж. Баласагына


Номер: 2-1
Год: 2016
Страницы: 49-52
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

Регуляризация, неяный оператор, дифференциал Фреше, пространства гильберта, regularization, the implicit operator Frechet differential, Hilbert space

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

Многие прикладные задачи физики и геофизики сводятся к неявным операторным уравнениям первого рода. К таким уравнениям сводятся также обратные задачи математической физики в тех случаях, когда выражение для функции Грина неизвестно. В данной работе предлагается комбинированный метод нового типа, объединяющий идеи метода М.М. Лаврентьева [1], метода Ньютона-Канторовича [2] для регуляризации решения неявного операторного уравнения первого рода в гильбертовом пространстве.

Текст научной статьи

В работе [5] рассмотрен случай, когда дифференциал Фреше нелинейного оператора является непрерывным самосопряженным положительным оператором. В данной работе комбинированного метода регуляризации применим с некоторым усложнением в более общих случаях. 1. Постановка задач: Рассмотрим неявное нелинейное операторное уравнение первого рода относительно вида , (1) где , - гильбертово пространство. Предполагаем, что 1) при существует единственное решение уравнения (1), т.е. имеет место тождество , (2) 2) оператор непрерывен в шаре , но и имеет производную Фреше , непрерывную в точке . Линейный оператор обратим, но неограничен, т.е. . Через обозначим оператор, сопряженный с оператором . Известно, [4] что оператор также будет линейным и непрерывным. Рассмотрим неявное операторное уравнение первого рода относительно вида . (3) Уравнения (1) и (3) является эквивалентными. 2. Регуляризация решения задачи: В шаре наряду с уравнениями (3) рассмотрим уравнение второго рода вида (4) где - параметр регуляризации. Теорема 1. Пусть 1. оператор непрерывен в шаре , где и ; 2. оператор имеет производную Фреше непрерывную в точке ; 3. линейный оператор непрерывно обратим. Тогда существуют такие числа , что для каждого из шара уравнение (4) имеет в шаре единственное, непрерывное решение . Прежде чем доказать теорему1, докажем следующую теорему Теорема 2. Пусть выполняются условия 1), 2), а также 3) линейный оператор в шаре удовлетворяет неравенству (5); 4) для оператора имеет место условие Липшица в ; (6) 5) имеет место предельное соотношение (7). Тогда существует такое число что при оператор , (где , - фиксированный элемент) в шаре имеет обратный, ограниченный оператор. Доказательство: Производим преобразование оператора , (8) где ,. Оператор при фиксированном в шаре является линейным оператором. Оценим его норму (9) Из условия (7) следует, что существует число такое, что при , где. (10) Тогда в силу теоремы Банаха [2] оператор обратим в шаре и справедлива оценка . (11) Таким образом, оператор имеет обратный оператор и справедлива оценка . (12) Теорема 2 доказана. Далее докажем теорему 1. Уравнение (4) эквивалентно запишем в виде . (13) Введем оператор . (14) Преобразуя оператор (14), имеем . (15) Производная оператора (14) при имеет вид . (16) Оценим норму производного оператора (17) Из оценки (17) следует, что оператор удовлетворяет условию Липшица (18) Оператор является нелинейным оператором. Покажем, что он шар отображает в себя. Для этого оценим разность (19) Введем обозначение . (20) Квадратное уравнение имеет действительное решение где , при , (21) если , тогда минимальный корень имеет вид . (22) Если , то оператор при шар отображает в себя. Таким образом, для любого элемента шара имеет место неравенство . (23) Покажем, что в шаре оператор является сжимающим оператором. Рассмотрим коэффициент Липшица в (18) (24) Учитывая (24) из (18), имеем , (25) где при , следовательно . Таким образом, оператор является равномерно сжимающим оператором. В силу принципа сжимающих отображений оператор в шаре имеет неподвижную точку, следовательно, уравнение (13) имеет единственное непрерывное решение для каждого , удовлетворяющее неравенству , где . (26) Теорема 1 доказана. Теорема 3. Пусть 1) выполняются все условия теоремы 1; 2) между элементами и имеет место оценка , где . Тогда единственное непрерывное решение уравнения (13) сходится по норме пространства к точному решению уравнения (1) при . Доказательство. Используя неравенство треугольника, неравенство (26) при и второе условие теорема3, оценивая норму разности , имеем . (27) Из неравенства (27) следует, что по норме пространства . Таким образом, решение уравнения (13) при является приближенным решением уравнения (1). Теорема 3 доказана.

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.