ПРЕДПОЧТИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА - ОСНОВА СТАНДАРТИЗАЦИИ Титова Т.А.,Монахова А.А.

Московский высший технический университет имени Н.Э.Баумана


Номер: 8-1
Год: 2016
Страницы: 81-86
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

предпочтительные числа, ряды Ренара и Фибоначчи, золотое сечение, разные отрасли промышленности, рекомендации ИСО и ГОСТ, история чисел

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

Статья содержит краткое знакомство с историей появления и использования предпочтительных чисел от Фибоначчи до Шарля Ренара и до стандартов ГОСТ 8032 - 84, ГОСТ 6636 - 69. Сделан краткий обзор применения предпочтительных чисел в различных отраслях промышленности: в машиностроении, в радиоэлектронике и радиотехнике. Рассмотрен конкретный пример расчёта ряда значений размеров для изделия. Предложено использовать предпочтительные числа, установленные ГОСТ 8932 - 84 в пищевой промышленности.

Текст научной статьи

В настоящее время наблюдается тенденция к созданию объединенных региональных рынков. Наибольшее развитие получила интеграция в рамках Европейского экономического сообщества (ЕЭС), которое сформировало единый внутренний рынок к 1 января 1993 г. Такой рынок обслуживает в общей сложности 300 млн. жителей. В устранении национальных барьеров в первую очередь принадлежит европейской стандартизации в области машиностроения. За последние годы специалисты и предприниматели сталкиваются с большим количеством неувязок, различием российских, европейских и международных требований к качеству продукции, её маркировке, упаковке, методам контроля и испытаний, оформлению деловой документации и т.д. Поэтому системный подход к месту и роли стандартизации в общественном производстве и управлении приводит к упорядочению и сокращению номенклатуры изделий, процессов, явлений, находящихся в связи. Для повышения уровня стандартизации изделий, обеспечения их качества и конкурентоспособности, а также эффективности производства, следует применить параметрические и размерные ряды на основе рядов предпочтительных чисел. Предпочтительные числа - числа, которые рекомендуется применять преимущественно перед всеми другими числами [4, с.45]. Предпочтительным числам свойственны определенные математические закономерности. Древняя история богата выдающимися математиками, такими как Евклид, Архимед, Герон и др. Иначе обстоит дело с математиками средневековья. Математика в эту эпоху развивалась медленно. Тем больший интерес представляет для нас сочинение «Liber abacci» («Книга об абаке») - объёмный труд знаменитого итальянского математика Леонардо из Пизы (1202 г.), которого знают больше по имени Фибоначчи [1, с.7]. Выросшая из знаменитой “задачи о кроликах”, имеющая почти восьмисотлетнюю историю, теория чисел Фибоначчи актуальна и сейчас [1, с.8]. Числа Фибоначчи представляют ряд: 0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89 и т. д., в котором каждый последующий член равен сумме двух предыдущих, т. е. . Весь ряд называется рядом Фибоначчи, а члены ее - числами Фибоначчи. Такие последовательности, в которых каждый член определяется как некоторая, функция предыдущих, встречаются в математике и называются рекуррентными или возвратными. Если разделить каждое последовательное число ряда Фибоначчи, начиная с шестого, на предыдущее, то получим постоянное число, равное 1,6, т. е. числа Фибоначчи представляют собой геометрическую прогрессию. Числа Фибоначчи широко используются в архитектуре, геометрии, теории поиска и др. Отечественное машиностроение является отраслью, которая одна из первых в мире стала применять закономерные ряды предпочтительных чисел. Академик А.В. Гадолин (1828 - 1892) разработал систему рационального построения кинематических соотношений в металлорежущих станках, основанную на использовании закономерных рядов предпочтительных чисел [3, c.25]. В 1932 году Международная Федерация Национальной Ассоциации по стандартизации (ИСА, позже ИСО) организовала Технический комитет ИСО ТК 32 «Предпочтительные числа». Рассмотрим ряд предпочтительных чисел, основанных на арифметической и геометрической прогрессиях, которые чаще применяются. В арифметической прогрессии разность двух соседних членов остается постоянной и называется знаменателем прогрессии (рис.1). Каждый член ряда этой прогрессии an вычисляется по формуле: an= a1 + d(n-1), где a1 - первый член прогрессии; d - знаменатель прогрессии; n- номер искомого числа. На ранних стадиях разработки документов применяли арифметическую прогрессию: стандарты на диаметры подшипников качения, стандарты на размеры обуви, одежды и др. Часто применяют ступенчато-арифметическую прогрессию, в которой разность значений является постоянной не для всего ряда, а только для определенной его части (рис.1). При этом для малых типоразмеров ряда d выбирается меньшей, а для больших типоразмеров - большей. Примером такого ряда является достоинство денежных единиц (руб.): 1; 2; 5; 10; 50; 100; 500; 1000; d= 1 d= 5 d= 50 d= 500 Ступенчато-арифметическая прогрессия находит применение в стандартах на диаметры резьб, размеры болтов, винтов, шпилек и других деталей машин. Рис 1. Сравнение рядов, построенных по разным прогрессиям 1 - ряд, построенный по арифметической прогрессии; 2 - ряд, построенный по ступенчато-арифметической прогрессии; 3 - ряд, построенный по геометрической прогрессии. На основе рядов ступенчато-арифметической прогрессии построены стандарты в ГОСТ 8724 - 2002 «Резьба метрическая диаметры и шаги для диаметров 1 - 600 мм»; диаметры и шаги в ГОСТ 9563 - 60 «Колеса зубчатые. Модули» и др. Более удобными являются ряды предпочтительных чисел, построенные на основе геометрической прогрессии, т. е. такой последовательности чисел, в которой отношение последующего к предыдущему члену (знаменатель прогрессии) остается постоянным (рис.1). Любой член геометрической прогрессии вычисляется по формуле: an = a1 * qn - 1, где a1 - первый член прогрессии; q - знаменатель прогрессии; n - номер искомого члена прогрессии. Геометрические прогрессии позволяют согласовать между собой параметры, связанные не только линейной, но также квадратичной, кубичной и другими зависимостями. Историю научной разработки рядов предпочтительных чисел для производственных целей связывают с именем офицера французского инженерного корпуса Шарлем Ренаром, который в 1877 - 1879 гг. разработал спецификацию на канаты для воздушных шаров. Чтобы эти канаты можно было изготавливать заранее независимо от последующего применения, необходимо было выбрать такое соотношение их размеров, которое при небольшом их числе обеспечило бы все основные потребности [4, с.36]. Используя преимущества геометрической прогрессии, Ренар взял за основу канат, имеющий массу а в граммах на 1 метр длины, и построил ряд, приняв знаменатель прогрессии Получается следующий числовой ряд: 1a; a; ()2a; ()3a; ()4a; ()5a, что при вычислении с точностью до пятой значащей цифры составляет: 1a; 1,5849a; 2,5119a; 3,9811a; 6,3096a; 10a. Значения этого ряда были заменены округленными величинами, практически более удобными. При этом масса a определена числом 10k, где k - любое целое положительное или отрицательное число, а также нуль. В последнем случае, при k равном нулю получается ряд Ренара R5: 1; 1,6; 2,5; 4; 6,3; 10, аналогично которому впоследствии были образованы ряды R10, R20 и R40 со знаменателями , и соответственно. В настоящее время в Российской Федерации действует ГОСТ 8032 - 84 «Предпочтительные числа и ряды предпочтительных чисел», который устанавливает четыре основных ряда предпочтительных чисел и два дополнительных (табл. 1). Применение дополнительных рядов допускается только в отдельных, технически обоснованных случаях [5, с. 1, 95]. Принято называть ряды с большим знаменателем и меньшим числом членов разряженными, а ряды с меньшим знаменателем и большим числом членов густыми. В наиболее разряженном ряде R5 имеется всего 5 членов: 1; 1,6; 2,5; 4; 6,3. Далее величины повторяются, но только в десять раз больше: 10; 16; 25; 40; 63 или в 10 раз меньше: 0,1; 0,16; 0,25; 0,4; 0,63. Ряд R10 будет выглядеть следующим образом: 1; 1,25; 1,6; 2; 2,5; 3,15; 4; 5; 6,3; 8, т. е. десять членов. Таблица 1 Основные и дополнительные ряды предпочтительных чисел Ряды Условное обозначение ряда Знаменатель прогрессии Количество членов ряда в десятичном интервале (1

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.