ЗАДАЧА О НАХОЖДЕНИИ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ КЛАССИЧЕСКОЙ ЧАСТИЦЫ ПО ИЗВЕСТНОЙ СТЕПЕННОЙ ЗАВИСИМОСТИ ПЕРИОДА ЕЕ ФИНИТНОГО ДВИЖЕНИЯ ОТ ПОЛНОЙ ЭНЕРГИИ Кочкин С.А.,Розевика А.А.

Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В. Ломоносова


Номер: 8-1
Год: 2016
Страницы: 23-26
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

одномерное финитное движение, зависимость периода от энергии, интегральное уравнение Абеля, one-dimensional finite movement, dependence of time period on energy, Abel integral equation

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

В данной работе на основе закона сохранения энергии и решения соответствующего интегрального уравнения в точном виде получено выражение для потенциальной энергии классической частицы по заданной степенной зависимости периода финитного движения частицы от ее полной механической энергии. Рассмотрены условия применимости полученного выражения, а также проведено сравнение результата с известной потенциальной энергией в частном случае гармонических колебаний частицы.

Текст научной статьи

При исследовании многих теоретических и прикладных задач классической механики [1], а также других разделов физики [2], возникает необходимость определения зависимости периода или частоты колебаний от полной энергии частицы или тела, совершающего финитное классическое движение в некотором внешнем потенциальном поле. Однако иногда требуется решать обратную задачу - задачу нахождения заранее неизвестной потенциальной энергии частицы, совершающей финитное движение в некотором - зачастую достаточно сложном - поле, по известной (либо из экспериментальных данных, либо из каких-либо иных теоретических обоснований) зависимости периода или частоты такого движения от полной механической энергии частицы. В общем виде для произвольной энергетической зависимости периода такая обратная задача не имеет готового решения, однако его можно получить в определенных частных случаях. В настоящей работе рассмотрено решение такой задачи в случае известной степенной зависимости периода финитного движения частицы от ее полной энергии как наиболее распространенной для описания нелинейной взаимосвязи периода и энергии [1, 2]. Рассмотрим классическую частицу массой , которая может совершать финитное движение во внешнем поле с потенциальной энергией и с полной механической энергией (). Будем предполагать, что - монотонно возрастающая при функция, график которой симметричен относительно оси ординат, причем . Тогда, в отсутствие диссипативных сил, в силу закона сохранения энергии имеем . Проинтегрируем это уравнение, разделяя переменные, в результате получим выражение, связывающее период финитного движения и потенциальную энергию частицы в виде , (1) где - точка поворота, являющаяся корнем уравнения . Перейдем под интегралом в (1) к новой переменной интегрирования . Для этого сначала выразим из обратную функцию , где (т.е. будем рассматривать только положительную полуось в силу симметричности графика функции ). Вычислив дифференциал этой функции в виде , введя обозначение и пересчитав пределы интегрирования, получим выражение, связывающее период финитного движения и функцию : . (2) В таком виде выражение (2) представляет собой интегральное уравнение Абеля [3] относительно неизвестной функции , если считать, что - заданная функция. Это означает, что если мы решим интегральное уравнение (2) и найдем функцию , то затем найдем и искомую потенциальную энергию из решения задачи Коши для следующего дифференциального уравнения первого порядка . (3) Решение интегрального уравнения Абеля (2) как частного случая интегрального уравнения Вольтерра первого рода можно находить разными методами, однако проще его найти так, как описано в [3], в результате получим решение интегрального уравнения (2) в следующем виде: . (4) Далее будем считать, что известна степенная зависимость периода финитного движения частицы от ее полной энергии: , (5) где - коэффициент пропорциональности, который только при численно совпадает с периодом гармонических колебаний, т.е. в том случае, когда период не зависит от энергии колеблющейся частицы. Вычисление интеграла в (4) с учетом (5), используя метод замены переменной, приводит к следующему результату , (6) где - бета-функция, определенная только при положительных аргументах [4]. Поэтому, очевидно, полученный результат справедлив лишь при условии . После дифференцирования выражения (6) по , получим функцию в следующем виде , (7) где - гамма-функция, через которую мы выразили полученную выше бета-функцию согласно формуле связи обеих этих функций [4]. Наконец, подставляя найденную функцию в дифференциальное уравнение (3) и решая его при указанном там же начальном условии, приходим к явному виду потенциальной энергии частицы при известной степенной зависимости периода ее финитного движения от полной энергии: . (8) Для того чтобы частица могла совершать финитное движение, необходимо, чтобы симметричная относительно оси ординат функция была возрастающей при , а значит, наш полученный результат будет верен лишь при условии . В частности, при , т.е. когда , получим известный вид потенциальной энергии частицы, совершающей гармонические колебания с периодом : , где имеет смысл коэффициента квазиупругой силы, действующей на частицу, который, как следует из (8), связан с периодом колебаний и массой частицы также известным простым соотношением: [5]. Во всех остальных возможных случаях финитного движения () потенциальная энергия частицы имеет более сложный вид и может быть записана следующим образом: , где введено обозначение для коэффициента . Таким образом, получили точное решение поставленной задачи.

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.