О КВАДРАТИЧНОЙ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ РЕШЕНИЙ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА-СТИЛЬТЕСА НА БЕСКОНЕЧНЫХ ОБЛАСТЯХ Абдукаримов А.М.

Институт теоретической и прикладной математики Национальной Академии наук Кыргызской Республики


Номер: 3-3
Год: 2017
Страницы: 7-14
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

интегрируем по частям, формулой Дирихле, integration by parts, the Dirichlet formula

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

В этой статье рассматривается вопрос о квадратичной интегрируемости решения линейных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра-Стилтьеса первого порядка. Уравнений изучена на двумерной бесконечной области. Дифференцирование и интегрирование производятся по строго возрастающим дифференцируемым функциям.

Текст научной статьи

Рассматривается уравнение (1) с условиями , (*) где - известные функции, а - неизвестная функция, - строго возрастающие дифференцируемые функции соответственно в областитогда определяется следующим равенством , . Обозначим через - пространство всех непрерывных функций на . Через обозначим пространство всех функций удовлетворяющих условию . Вопросы ограниченности и устойчивости решений для дифференциальных, интегро-дифференциальных уравнений изучались в работе [1]. Понятие производной и дифференциала определены по строго возрастающей функции: [2]. Квадратичная интегрируемость решений линейных дифференциальных и двумерных интегро-дифференциальных уравнений с частными производными на бесконечных областях рассмотрена в работах [3, 4]. Интегральные уравнения и система интегральных уравнений Вольтерра-Стилтьеса рассмотрены в статьях [5, 6]. ТЕОРЕМА. Если выполняются условия: (f), а) функции , , при ; б) функции , при и , при ; в) функции и , при и , при ; г) функции , , и ÎС(G3), при , при , , , , при и , при ; д) при , при , то задача 1-(*) имеет единственное решение в . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обе части уравнения (1) умножим на и проинтегрируем по области . Тогда . (2) Далее пользуясь формулой интегрирования по частям и формулой Дирихле, преобразуем левую часть соотношение (2): , (3) , (4) . (5) Аналогично этому получим . (6) Для преобразования последнего интеграла в левой части соотношения (2), используем следующую формулу . Тогда (7) Далее используя, и формулу Дирихле из последнего соотношения получим . (8) Учитывая соотношения (3), (4), (5), (7), (8), условие г) и формулу Дирихле, из (2) имеем - . (9) В силу условий а), б), в), г) и д), из (9), имеем . (10) В правой части неравенства (10) применяя неравенство Коши - Буняковского, получим .(11) Отсюда следует, что при . (12) Из последнего неравенства, переходя к пределу при и получим . Таким образом, теорема доказана.

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.