АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В МНОГОСЛОЙНОЙ ОГРАЖДАЮЩЕЙ КОНСТРУКЦИИ Куралбаев З.К.,Ургенишбаев С.К.

Алматинский университет энергетики и связи


Номер: 4-1
Год: 2017
Страницы: 89-95
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

теплопроводность, коэффициент теплопроводности, математическая модель, квазилинейные уравнения параболического типа, метод конечных разностей, расчетная схема, алгоритм, метод прогонки, Thermal conductivity, thermal conductivity coefficient, mathematical model, quasilinear equations of parabolic type, finite difference method, computational scheme, algorithm, sweep method

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

Рассматривается задача о распространении тепла через стенку ограждающей конструкции, в качестве которой принят трубопровод, по которой протекает горячий пар или жидкость. Составлена математиечская модель для конструкции, состоящей из трех слоев, физические характеристики которых различные. На основе математической модели сформулирована математическая постановка задачи, где рассматривается система трех квазилинейных уравнений параболического типа. Разработан алгоритм решения задачи.

Текст научной статьи

1. Постановка задачи о теплопроводности в ограждающей конструкции Известно, что при транспортировке высокотемпературных жидкостей или газов возникает проблема экономии тепловой энергии, так как существенная ее доля теряется из-за утечки тепла через стенку трубопровода. «Проблема энергетического обеспечения является одной из самых актуальных проблем выживание страны» [1,с.14]. В связи с этим является актуальной проблема расчета потери тепла при транспортировке теплоносителей в виде жидкости или газа. В общем случае ограждающей конструкцией считается такое сооружение, которое разделяет некоторую среду от внешней среды, а в данном случае ограждающей конструкцией считаются трубопровод, металлургическая печь, котлы тепловых станций и другие. Основная функция этих конструкций является обеспечение по возможности температурного режима и уменьшение потери тепловой энергии. Перечисленные ограждающие конструкции являются металлическими, которые имеют высокую теплопроводность. Поэтому в таких конструкциях используются дополнительные изолирующие материалы для уменьшения потери тепла. Тогда ограждающая коснтрукция становится многослойной. В связи с дороговизной тепловой энергии вопрос об уменьшении потери тепла в таких конструкциях является актуальной проблемой. Здесь возникает вопрос о постановке задачи теплового расчета в таких многослойных конструкциях и о методах ее решения. В научной и учебной литературе [2,с.356; 4,с.27; 5,с.25] имеются сведения о свойствах различных материалов; в данной задаче основными характеристиками являются: коэффициенты теплопроводности и теплоемкости. В качестве примера в таблице 1 приведены характеристики некоторых материалов. Таблица 1 Свойства некоторых материалов (Краснощеков Е.А., Сукомел А.С. Задачник по теплопередаче. - М.: «Энергия», 1975.- 280 с.) Номер слоя Наименование материала Плотность (кг/м3) Коэффициент теплопроводности (Вт/(м 0С) Теплоемкость (кДж/(кг 0С) 1 Бетон 2000 1,28 0,84 2 Красный кирпич 1800 0,77 0,68 3 Силикатный кирпич 1900 0,81 0,84 4 Известковая шкатурка 1600 0,70 0,84 5 Цементнопесочная штукатурка 1800 1,2 0,84 6 Сталь 7800 45-54 0,5-0,9 7 Стекловата 154-205 0,051-0,059 - Отсюда следует, что материалы, использумые для ограждающих конструкций, имеют высокую теплопроводность. Поэтому дополнитнльно используются изоляционные материалы, коэффициенты теплопроводности которых очень малы. Например, коэффициент теплопроводности стали в 1000 раз больше чем коэффициент сткловаты. Итак, ограждающая конструкция ожет состоять из нескольких слоев. Поэтому возникает задача о теплопроводности в многослойной конструкции. Для простоты можно ограничиваться рассмотрением ограждающую конструкцию, состоящей из трех слоев. Поверхность обмена тепла большинства ограждающих конструкций (стены сооружений, трубопроводы и другие) может иметь достаточно большую площадь, что температурный режим в каждой точке данной поверхности считать одинаковым. Поэтому можно рассматривать линейную задачу о распространении тепла по толщине констукции. Поэтому предполагается, что параметр определяет координату по толщине конструкции; первый слой определен второй слой - третий слой - Сечения с координатами и считаются внешними границами, а и внутренними границами. В следующей таблице приведены обозначения, характеризующие свойства материалов слоев, образующих конструкцию (Таблица 2). Таблица 2 Обозначения основных свойств материалов Номер слоя Плотность (кг/м3) Коэффициент теплопроводности Вт/(м0С) Теплоемкость (кДж/(кг0С)) Толщина (м) 1 2 3 В данной задаче требуется определить распространение тепла в трехслойной среде, когда известны температруные режимы на внешних границах. Для решения данной задачи необходимо вначале разработать ее математическую модель. Для разработки математиеской модли используются известные фундаментальные законы физики. Математическое моделирование. Перед составлением математиеской модели поставленной задачи должны быть введены следующие обозначения основных параметров задачи: время; номер слоя конструкции, коэффициент температуропроводности го слоя: температура на сечении с координатой в момент времени Уравнения теплопроводности для трех слоев записываются в следующем виде [5, с.593]: - для первого слоя где (1) - для второго слоя где (2) - для третьего слоя где (3) Для решения этих уравнений должны быть заданы начальные и граничные условия. Пусть предполагается, что в начальный момент времени () температурный режим в рассматриваемых слоях известен: (4) Здесь заданные функции. Кроме этих начальных условий, должны быть заданы граничные условия на границах рассматриваемых слоев, в частности, для внешних границ: (5) (6) Здесь и также заданные функции. Также необходимо задать условия на внутренних границах ( и ), где должны выполняться условия непрерывности значений искомой функции: (7) (8) Кроме этих условий на этих границах выполняется условие равенства количества проходящего через них тепла: (9) (10) Итак, получена совокупность математических формул (1) - (10), образующих математическую модель рассматриваемой здесь задачи. Постановка математической задачи. На основе математической модели (1) - (10) можно сформулировать следующую математическу задачу: требуется найти в прямоугольной области значения неизвестных функций удовлетворяющих соответственно дифференциальным уравнениям (1)-(3), начальным условиям (4) и граничным условиям (7) - (10). Здесь: период времени исследования данного процесса, общая толщина конструкции. Переход к безразмерным переменным. Считается целесообразным переход к безразмерным переменным в связи с тем, что при выполнении расчетов на компьютере размерности переменных величин создают определенные проблемы [6, c.54]. Для перехода к безразмерным переменным необходим выбор характерных величин; пусть приняты следующие величины: температура; линейный размер; время. После этого производится замена переменных с помощью следующих формул: (11) Используя замену переменных по формулам (11), можно получить из формул (1) - (3) следующую систему уравнений в безразмерных переменных: (12) (13) (14) Также будут записаны в безразмерных параметрах начальные условия (4) в следующем виде: (15) Граничные условия на внешних границах (5) и (6) записываются в следующих безразмерных формулах: (16) (17) Граничные условия на внутренних границах: (18) (19) (20) (21) Итак, получена задача в безразмерных переменных (12) - (21). Метод решения задачи. В данной задаче рассматриваются три уравнения одного типа. Поэтому можно разарботать алгоритм решения задачи для одного уравнения и этот алгоритм будет использован для решения всех трех уравнений. В этом случае будет создан модуль программы, составленный на основе разработанного алгоритма. Пусть дифференциальное уравнение записывается без индексов в следующем виде: , (22) а начальные условия (23) и граничные условия: (24) (25) Здесь введены вспомогательные функции и постоянные величины , которые будут заменены соотвествующими функциями и постоянными параметрами для каждой задачи. Теперь исходная задача сведена к решению задачи (22) - (25) для определения функции в области . Для решения этой задачи используется известный метод сеток [3,с.75; 5,с.594], для которого приняты шаги: по переменной - по переменной в качестве расчетной схемы принята нелинейная неявная схема: (26) где (27) Здесь приняты следующие обозначения:: (28) (29) (30) Расчетная схема. Полученная система алгебраических уравнений (26) является нелинейной, поэтому для ее решения используется метод итераций. Для применения метода итераций необходимо привести уравнение (26) к следующему виду: (31) где (32) Здесь: по формулам (32) вычисляются значения коэффициентов уравнения (31) для значений искомой функции в предыдущей итерации; а из формул (31) должны быть определены значения искомой функции в следующей итерации. В качестве нулевого приближения можно принять значения функции для предыдущего момента времени или предыдущего значения параметра Формула (31) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений относительно значений искомой функции для следующей итерации. Метод прогонки. Система уравнений (31) является системой с трехдиагональной матрицей, поэтому она может быть решена известным методом прогонки [5, с.593]. Перед тем как использовать метод прогонки, необходимо произвести некоторые обозначения: значение искомой функции, определяемое в следующей итерации; значение этой же функции, вычисленное в предыдущей итерации. Тогда в формуле (32) коэффициенты будут вычислены для значений т.е. По условию метода прогонки решение системы (31) ищется в следующем виде [5,с.591]: где и - коэффициенты прогонки, которые определяются с помощью следующих формул: (33) и (34) Процесс вычисления прогоночных коэффициентов называется прямой прогонкой. Значения искомой функции определяются с помощью формул: (35) Процесс вычисления значений функции по формулам (35) называется обратной прогонкой. После каждой итерации должна проводиться проверка точности вычислений; для этого используется следующее условие: (36) где малое положительное число, которое определяет точность вычислений. Алгоритм решения исходной задачи о теплопроводности в трехслойной конструкции будет состоять из трех обращений к модулю алгоритма решения задачи (22) - (25). Алгоритм решения этой задачи состоит из следующих этапов: 1. По формуле (28) вычисляются значения искомой функции для начального момента времени, т.е. для значения параметра 2. Вычисление значений коэффициентов системы уравнений (31) по формулам (32). 3. Начало цикла по параметру 4. Начало цикла итераций. 5. Присваивание значений функции U функции y. 6. Прямая прогонка; вычисление значений коэффициентов прогонки по формулам (33) и (34). 7. Обратная прогонка; вычисление значений искомой функции по формулам (35). 8. Проверка выполнения условия точности; определяется максимальное положительное значение разности и проверяется условие (36). Если это условие не выполняется, то продолжается итерационный процесс, начиная с пункта 5. Если выполняется условие (36), то итерационный процесс завершается и осуществляется переход к следующему значению параметра Затем процесс вычислений продолжается, начиная с пункта 4. Итак, были разработаны математическая модель и алгоритм решения математической задачи о теплопроводности в трехслойной ограждающей конструкции. Разработанный алгоритм может быть использован в дальнейшем для разработки программы для численной его реализации.

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.