ОТОБРАЖЕНИЕ ПЕКАРЯ И ЕГО ТРАЕКТОРИИ Морозов А.В.,Пирожков М.А.

ВКА имени А.Ф. Можайского


Номер: 4-6
Год: 2017
Страницы: 7-13
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

Отображения Бернулли, Арнольда и подкова Смейла играют огромную роль для понимания детерминированного хаоса [1-4]. В данной статье рассматривается еще одно двумерное дискретное преобразование - преобразование пекаря, открытое Э.Хопфом в 1937г. Получены формулы для вычисления координат всех периодических точек периода QUOTE .

Текст научной статьи

Определения. Рассмотрим двухстороннюю числовую последовательность, составленную из символов 0, 1: (1) Определим над последовательностью (1) отображение сдвига : со свойствами , , Ясно, что , . Множество всех последовательностей представляет собой фазовое пространство некоторой физической системы и с отображением образует динамическую систему . Каждую последовательность при этом называют точкой, а множество - траекторией или орбитой, выпущенной из точки . Точка называется периодической точкой периода , если . Тогда будет периодической траекторией. Периодические траектории иначе называются циклами. С последовательностью (1) свяжем числа и . (2) Очевидно, что числам и соответствует точка в квадрате , а действию отображения на последовательность (1) отвечает новая точка и (3) Таким образом, можно говорить о точечном отображении, которое также будем обозначать : . Выпишем явную форму отображения . Для этого заметим, что , , (4) Отсюда вытекает, что если , т.е. , то (5) если , т.е. , то (6) Формулы (5), (6) естественным образом объединяются в одну: (7) где обозначают соответственно дробную и целую часть числа . Замечание. Динамическая система , где - бесконечная двухсторонняя последовательность эквивалентна заданию отображения (7). Однако, (7) позволяет дать новую трактовку состояний системы, как точек единичного квадрата и визуализировать её траектории на плоскости в виде различных ломанных и многоугольников. Ясно, что отображение (7) порождает рекуррентные уравнения (8) для построения траекторий , - начальная точка. Отображение множеств. С геометрической точки зрения преобразование (7) осуществляет следующие деформации единичного квадрата (рис. 1). Рис. 1. Сжатие в вертикальном направлении, растяжение в горизонтальном и перенос (присоединение) одного прямоугольника к другому. Отмеченные деформации послужили названию этого отображения, ибо они отдаленно напоминают, как говорят, действия пекаря при раскатывании теста. Проводя аналогичные рассуждения, нетрудно получить явный вид обратного преобразования : Заметим, что действует из квадрата в квадрат, т.е. сохраняя площадь. Такие отображения называются консервативными. Рассмотрим теперь вторую итерацию отображения: . Ясно, что и . Отсюда, исключая , заключаем, что: 1) При 2) При 3) При 4) При На рис. 2 представлен график функции . На рис. 3 представлен квадрат и его образ при действии отображения . Рис. 2. . Рис. 3. Прообраз и образ. Для отображения аналогично нетрудно получить формулы: где , определяются из таблицы 1 Таблица 1 Интервал m 0, 0, 0 0 0 1 0, 0, 1 1 5 0, 1, 0 2 3 0, 1, 1 3 7 1, 0, 0 4 2 1, 0, 1 5 6 1, 1, 0 6 4 1, 1, 1 7 8 На рис. 4 слева представлен исходный квадрат, а справа - его образ при действии отображения . Рис. 4. Вертикальный прямоугольник с номером m отображается в горизонтальный прямоугольник с номером m Обобщая вышесказанное для отображения получим: Здесь , Заметим, что номер итерации k определяет количество вертикальных прямоугольников . Числа на всевозможных упорядоченных двоичных наборах дадут числа от 0 до . Наибольший интерес вызывает функция , которая осуществляет перестановку (перемешивание) горизонтальных прямоугольников, составляющих образ результирующего квадрата. Для k = 1, 2, 3 имеются следующие перестановки: , , . Кроме того, заметим, что все столбцы с четными номерами отображаются в верхнюю часть квадрата-образа, а нечетные столбцы - в нижнюю. Пусть теперь и - две произвольные сколь угодно близкие точки для которых . Ясно, что найдется такое , что образы и будут находиться по разные стороны серединной линии (рис.5) . Рис. 5. Чувствительная зависимость от начальных данных Отмеченное свойство часто называют чувствительной зависимостью от начальных данных. Оно тесно связано с понятием перемешивания и перемешивающего отображения. Напомним его. Пусть - определенное на и сохраняющее меру отображение, так, что . Отображение называется перемешивающим, если для любых квадрируемых множеств (рис.6) выполняется Рис. 6. Перемешивающее отображение. Рис. 6 схематически иллюстрирует понятие перемешивания. Здесь суммарная «площадь» линий на каждом шаге итераций равна площади множества. «Площадь» же линий, в пересечении с множеством и отнесенная к площади множества , оказывается не зависящей от формы и площади множества . Периодические точки. Рассмотрим теперь рекуррентные уравнения (8). Пусть . Первое уравнение в (8) имеет решение Для решения второго, заметим, что , а так как цифру после запятой числа можно выделить с помощью функции , то . Далее, используя z - преобразование [5] к рекуррентному уравнению , нетрудно получить, что Таким образом, получено решение системы (8) в виде явных формул (9),(10). Для нахождения периодических точек отображения решим систему Первое уравнение в (11) запишем в эквивалентной форме . Откуда . Далее, обозначая сумму из второго уравнения (11) получим Таким образом, получены формулы для вычисления координат всех периодических точек периода . Траектории. Система (7) имеет одно положение равновесия . Матрица линеаризации имеет собственные значения . Так, что (0,0) - гиперболическая точка (положение равновесия типа седло). Ясно, что собственные векторы направлены по координатным осям и соответственно. Введём в рассмотрение множества , , , , . Множества и являются инвариантными, соответственно растягивающим и сжимающим слоениями. Это следует из того, что и . Теорема 1. Все точки счётного множества являются гомоклиническими точками седлового положения равновесия . Доказательство. Пусть - произвольная точка множества . Тогда найдутся натуральные числа, , и , что , . С другой стороны точке отвечает двухсторонняя конечная последовательность вида . Отсюда вытекает, что итерации как при , так и при . Что и доказывает утверждение. Теорема 2. В системе (7) счётное множество периодических траекторий. Доказательство следует из того, что периодическим траекториям (циклам) отвечают периодические последовательности ), а для заданного число различных периодических траекторий конечно. Для заданного натурального существует периодических точек, которые порождают циклов . Так на рис. 7 для изображено 14 периодических точек, 3 цикла периода 4 и один цикл периода 2. Рис. 7. Циклы Теорема 3. Непериодическим бесконечным последовательностям отвечают хаотические траектории. Доказательство можно провести, используя отображение сдвига Бернулли и хаотичность односторонних последовательностей, либо основываясь на свойстве перемешивания отображения . Пример хаотической траектории: . Приведем теперь общий вид гомоклинических и гетероклинических точек , . Теорема 4. Множество гомоклинических и гетероклинических точек периодических траекторий счетно. Доказательство следует из счетности множества . Примеры гомоклинических точек , , Примеры гетероклинических точек , . Ясно, что если - гомоклиническая (гетероклиническая) точка, то точки и () - также гомоклинические (гетероклинические), а траектории - соответственно также гомоклинические и гетероклинические.

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.